Archives du mot-clé pa kè

Derive: kèk règ kalkil

rich

Richard Feynman, yonn nan pi gwo pwofesè fizik ki pase sou latè (yonn nan pi gwo fizisyen tou), te ekri yon liv pratikpratik pou ede etidyan yo rezoud egzèsis ki koke chòt yo. Premye bagay li atake nan chapit 1 liv sa a, yon liv mwen ankouraje ou li, se baz matematik moun bezwen pou yo kapab fè fizik, e derivasyon se premye zouti li prezante. Sa ki enteresan nan chapit sa a, M. Feynman bay yon konsèy ki ta kapab etone anpil moun. M ap pran yon ekstrè mete la (se mwen ki tradui li):

Erè moun fè nan aljèb, nan derivasyon ak nan entegrasyon tou senpman raz; yo nèvan alafwa pou syans fizik la ak pou lespri pa ou pandan ou ap eseye analize yon bagay. Ou ta dwe kapab fè kalkil sa yo nan yon bat je ak mwens fot posib. Sèl sa sa mande se bat yon ti pakè- pa gen wout pa bwa. Se tankou aprann tab miltiplikasyon pa kè, jan ou te konn fè sa nan lekòl primè: yo te konn met yon pil nonb sou tablo a epi ou te konn al sou li: « sa fwa sa, sa fwa sa, eks. »-Boum! Boum! Boum!

Wi, pwofesè Feynman te gen rezon. Gen yon nivo alèz pou ou atenn li nan Analiz matematik la, kòm se li ki enterese nou pou kounye a, gen bagay se reflèks yo dwe ye e genyen yon minimòm « pakè » ki dwe fò sou ou. Se pa t janm pakè a ki te pwoblèm nan, se pakè san konprann ki gwo pwoblèm sistèm edikatif nou an Ayiti. Menm jan pakè san konprann se yon estrateji frajil, se konsa tou konprann san yon minimòm pakè konn yon andikap tou (sitou, li kapab fè ou pèdi yon pil tan pou granmesi).

Nan biyè sa a nou pral eseye alafwa esplike epi ba ou yon seri ti teknik ak rezilta li bon pou ou konnen pa kè pou ou kapab maton nan kalkil derive yo.

Nan nannan derive a

Sa pa pi konplike pase sa. Derive yo se limit yo ye. Sa vle di, lè ou genyen yon fonksyon poukont li epi ou bezwen derive li nan yon pwen, se limit yon rapò ki ap ba ou li. Menm si ou pa ta konnen kisa fonksyon derive a bay, ou kapab toujou jwenn rezilta sa a gras ak fòmil ki defini derive a senpman. Epi, jan nou te wè sa nan yon biyè nou te ekri sou limit yo, lè ou ap chèche limit nan yon pwen, se pa tèlman pwen an ki enterese ou, se pito sa ki ap panse nan vwazinaj pwen sa a, alafwa agoch li ak adwat li. Kidonk, li posib, si limit la egziste, pou ou jwenn rezilta ou bezwen an ganmesi kèk pwen ki tou pre pwen ki enterese ou a, ou ap nik foure valè pwen sa yo nan fonksyon oswa rapò ki enterese ou a epi ou gade ki konpòtman ki afiche (ki valè rapò sa a ap pwoche al jwenn).

Ti teknik sa a ka parèt senp, men anpil moun fasil bliye li epi li mande yon bon konpreyansyon sou nannan derive yo. Ou kapab sezi wè nan kèk sitiyasyon difisil jan  li ka debloke ou.

Règ derivasyon an chenn

Se yon règ ou pa ka pa konnen. Poukisa li enpòtan? Sa ki pase, jan nou pral wè sa pi ba a, gen yon seri ti fonksyon tou senp ou ap finalman konnen derive yo pa kè, pa fòs. Se tankou yon bann ti fonksyon debaz, yon bann ti fonksyon pa ka pa la. Fonksyon sa yo pa anpil, li posib pou ou aprann konnen yo chak ak tout derive yo sa yo bay. Kounye a, an nou sipoze ou ta konn tout, èske tout traka ou fini pou sa? Non. Paske anpil fonksyon nou ap gen pou nou rankontre nan reyalite a se yon konbinezon ( menm si nou granmoun, tèm teknik lan se konpozisyon) fonksyon debaz yo. Fonksyon konpoze ki pi senp nou ka imajine a, se yon fonksyon debaz kote varyab endepandan li a, olye li se yon senp x, an reyalite li se yon lòt fonksyon debaz. Kounye a, se vre nou konn derive chak fonksyon debaz sa yo apa, men nou pa konnen lè yonn antre nan lòt konsa kisa derive a ap bay. Ebyen se la règ derivasyon an chenn nan vin itil.

Règ derivasyon  an chenn nan di nou fòk nou kalkile derive a an plizyè etap, an chenn: 1) kòmanse jwenn derive manman fonksyon (sa ki aji sou lòt fonksyon ki anba zèl li a) parapò ak fonksyon ki anba zèl l. Sa vle di derive fonksyon ki « pa deyò a » parapò ak fonksyon ki pa anndan an, fonksyon ki jwe wòl varyab li a 2) Derive fonksyon ki anba zèl manman fonksyon an, sa vle di fonksyon ki pa anndan an, parapò ak varyab li a 3) Si varyab fonksyon ki nan etap 2 a se yon lòt fonksyon ankò, ou ap repete menm etap la pou li 4)Anfen lè ou fin fè travay sa pou tout fonksyon yo jouk ou rive nan derive yon fonksyon debaz, ebyen apre sa ou ap miltipliye tout derive ou jwenn nan etap anvan yo ansanm pou ou ka jwenn derive manman fonksyon an parapò ak varyab final la.

Se pa grav si ou pa konprann anyen nan 2 paragraf pi wo yo. Nou pral pran yon egzanp epi tout bagay ap vin klè.

An nou di nou genyen 2 fonksyon debaz (sa vle di 2 fonksyon nou te gentan konnen derive yo pakè gras ak yon fòmil tou fèt). An nou di premye a se f(x) epi dezyèm nan se g(t). De fonksyon sa yo, derive yo chak apa se f'(x) epi g’(t). Si tout analiz la se te sa sèlman, lavi  nou t ap twò fasil. Men jan nou sot di a, sa ka rive nou kontre ak fonksyon konpoze. Tankou, nan egzanp nou an, f ka vin yon fonksyon g ki li menm se yon fonksyon t. Sa vle di kisa? Nan plas f(x) nou te genyen okòmansman an ki te yon fonksyon x, ebyen nou vin genyen g ki pran plas x la. Kidonk, g vin tounen yon varyab pou f. Nou vin genyen f[g(t)] olye f(x) nou te genyen an. f jwe wòl manman fonksyon an, epi g se fonksyon ki anba zèl li a. Fòk nou admèt nouvo fonksyon sa nou genyen an, nou pa t etidye derive li, menm si nou konn derive chak pati ki ladan (f ak g poukont pa yo).

Ebyen, se règ derivasyon an chenn nan ki di nou sa pou nou fè. Li di nou nan f[g(t)] a, pou nou jwenn derive a: 1) nou ap fè kòm si se x ki te nan plas g, kidonk aplike derive f la parapò g jan nou t ap fè l si se te x ki te nan plas g a: kidonk, nou ap genyen f'(g).  2) apre sa, règ la di nou pran fonksyon ki anba zèl f la, epi kalkile derive pa l parapò ak sa ki jwe wòl varyab pou li a jouk nou rive nan yon fonksyon debaz nou konnen derive l san pwoblèm. Nan ka sa a, g se yon fonksyon t li ye, e t li menm se yon varyab senp, li pa yon fonksyon lòt varyab. Kidonk nou ka tou kanpe la ak kalkil derive yo lè nou fini. Kòm nou te gentan konnen derive g se te g'(t), ebyen derive nou jwenn nan dezyèm etap sa a se g'(t) 3) dènye etap la se pran tout mayon chenn nan, sa vle di derive nou jwenn nan chak etap anvan yo, miltipliye yo ansanm pou nou ka jwenn derive final la, sa vle di f('t) oswa nou te ka ekri li tou (f[g(t)])'. Odonk derive nou ap chèche a egal: f('t)=f'(g) \times g'(t).

Ou ap jwenn yon demonstrasyon règ derivasyon an chenn nan, pou ka ki pi senp lan (2 fonksyon reyèl yon sèl varyab, tankou sa nou sot pran yo) si ou klike sou lyen sa a: demonstrasyon règ derivasyon an chenn nan

Derive kèk fonksyon debaz

Se nan etap sa a pakè a pi enpòtan. Alòs lè nou di pakè a, sa pa vle di sa nou pral di yo pa ka demontre non. Dayè nou ap demontre yo, men se ap nan yon biyè blòg separe ki ap gen kèk ekzanp pratik tou, pou biyè sa ou ap li kounye a pa twò long. Epi demonstrasyon yo fasil pou jwenn sou entènèt la. Men sa nou vle ou konprann, menm si ou ta ka demontre yo tout, li enpòtan pou ou konnen yo pa kè, pou li vin yon reflèks, depi ou wè yo repons lan dwe monte « Boum! Boum! Boum! », kon di Pwofesè Feynman.

Nou fè anpil tan ap pale sou lis fonksyon pa ka pa la sa yo, yon seri fonksyon ki plede parèt nan pifò gwo tonton fonksyon nou abitye wè yo, menm sa ki pi konplike yo. Chaje lis konsa sou entènèt la, men dapre mwen, anpil nan yo te ka pi kout. Poukisa si m fin konn derive x^{\alpha}, kote \alpha ka nenpòt nonb reyèl, mwen oblije aprann derive yon fonksyon tankou \frac{1}{x} mete sou li, alòske mwen te ka nik mete -1 nan plas \alpha a?

Pou nou, men fonksyon ki pi enpòtan pou konnen yo, ak tout derive yo nan foto ki pi ba a.

  1. Fonksyon konstant lan (derive li se 0)
  2. Fonksyon idantite a (derive li se 1)
  3. Fonksyon lineyè a
  4. Fonksyon pisans lan
  5. Fonksyon eksponansyèl la (derive li se tèt li ankò)
  6. Fonksyon \ln nan (logaritm natirèl oswa neperyen an)
  7. Fonksyon sinis (\sin)
  8. Fonksyon kosinis (\cos)
  9. Fonskyon tanjant lan tou, petèt (\tan)
  10. Fonksyon \arcsin nan
  11. Fonksyon \arccos la
  12. Fonksyon \arctan nan

M pa kwè genyen lòt ankò ki enpòtan pase sa non. Lòt yo an jeneral ou ka jwenn yo apati sa yo.  Men yon egzanp lis ou ka jwenn sou entènèt la si ou tape « tableau dérivée » sou Google (gade imaj ki pi ba a). tabloderive

Sous: J. Y Baudot

Alòs, genyen kèk lòt règ nou gen pou nou wè wi, men yo pa anpil. Nou pa lwen fini. Lòt règ yo gen pou wè ak operasyon nou ka fè ak fonksyon yo. Konpozisyon nou te wè pi wo a se yon egzanp operasyon konsa, men gen lòt ankò ki pi senp tankou adisyon (oswa sòm), miltiplikasyon (oswa pwodui) 2 fonksyon. Ka kote yon fonksyon  se ekspozan yon lòt fonksyon an nou ap wè li nan yon lòt biyè. Sou entènèt la nou ap wè yon pil règ, men yon moun pa oblije konn tout: fòmil pou adisyon an ak fòmil pou miltiplikasyon an, metòd kalkil Feynman lan ta dwe sifi pou anpil sikonstans. An nou gade yo pi pre.

Derive sòm 2 fonksyon

Derive adisyon 2 fonksyon egal adisyon derive 2 fonksyon sa yo (derive yon sòm se sòm derive yo). Se definisyon derive a yo jis aplike.

Derive pwodui 2 fonksyon

Derive miltiplikasyon 2 fonksyon PA EGAL senp miltiplikasyon 2 fonksyon sa yo, malerezman. Lavi a t ap twò fasil. Se pa sa nou jwenn lè nou aplike definisyon derive a sou yon pwodui 2 fonksyon. Pou ou jwenn derive yon pwodui 2 fonksyon, genyen 2 etap: 1)pran pwodui yonn nan fonksyon sa yo ak derive lòt fonksyon an 2) pran pwodui lòt fonksyon an parapò ak derive fonksyon anvan an 3) adisyone rezilta etap 1) ak etap 2) a.

Tankou, an nou di 2 fonksyon nou yo se u(x) ak v(x)., ebyen si nou ap chèche derive pwodui yo de a, sa vle di derive u \times v, li ap egal:

im1

Se règ sa a ki pral enspire metòd derivasyon Feynman prezante nan liv li a. Se li nou pral prezante la. Kòmansman an yon ti jan teknik, men apre sou aplike l sou yon egzanp konkrè.

Metòd derivasyon Feynman lan

Si nou retounen nan fòmil pou pwodui 2 fonksyon an, nou kapab ekri li sou yon lòt fòm.

Si nou di fonksyon ki enterese nou an se f=uv, ebyen nou kapab fè f parèt nan fòmil pwodui a:

im1

im2 (Nou senpman miltipliye epi divize pa uv, sa ki boutanfen pa chanje anyen.)

Kòm f=uv, ebyen:

im3

Men nou te ka travay sou yon fòm fonksyon f ki pi jeneral toujou, tankou

im4

im5 (lè nou aplike fòmil pwodui a)

Kounye a si nou aplike règ derivasyon an chèn nan sou (u^a)' ak (v^b)', nou ap jwenn:

im6

Kounye a, si nou fè f parèt (miltipliye epi an menm tan divize pa ), nou ap jwenn:

im7

Ki vle di, apre kèk senplifikasyon:

im8

Se sou fòmil (1) sa a metòd Feynman pwopoze nan liv li a baze. Sa pa enpòtan pou yon moun konprann lojik ki mennen la a (Feynman pa menm pran tan bay tout detay nou bay la yo). Se jan pou ou aplike fòmil la ki pi enteresan. Lòt bagay nou bezwen sonje ankò anvan nou aplike fòmil la, se règ adisyon an, si nou annafè ak adisyon 2 gwo fonksyon, ebyen nou ka nik kalkile derive chak apa gras ak metòd Feynman nan epi fè adisyon 2 derive yo annapre. Pou nou aplike metòd Feynman nan, nou bezwen ekri chak blòk fonksyon sou fòm jeneral im4 a (alòs nou te ka gen plis fonksyon toujou wi, olye u ak v sèlman, se t ap menm demach la).

An nou pran yon egzanp.

An nou di nou bezwen kalkile derive fonksyon sa a:

im9

M ap jis remake li parèt sou yon fòm:

im10, kote \alpha a se 6 ki devan parantèz la.

Donk lè mwen aplike fòmil (1) an, mwen jwenn:

im11

Kote premye akolad kouche a reprezante f ankò ki nan kòmansman fòmil la, dezyèm akolad la se a ki te ekspozan u a, twazyèm akolad la se \frac{u'}{u}, katriyèm akolad la se ekspozan v a (sa vle di b ki nan fòmil lan), epi dènye akolad la se \frac{v'}{v}.  Epi sa ou tande nou fini tou wi. Alòs rete kèk senplifikasyon pou nou fè pou rann espresyon an pi senp, men derivasyon an fini la. Nan yon bat je, ou gentan « wè » derive » fonksyon an sa li ap bay, menm si fonksyon an ta long anpil.

Nan ka fonksyon ki sou fòm fraksyon yo, se menm demach la, sèlman espresyon ki pa anba ba fraksyon an nou ap bezwen voye yo anlè pandan ekspozan an ap vin negatif. Tankou si nou te genyen:

im12

Nou pa t ap bezwen panike. Nou t ap nik kòmanse remake rasin kare ki pa anba a se tankou se te ekspozan \frac{1}{2}, kidonk:

im15

Apre sa nou t ap pran tout sa ki nan denominatè a nou voye yo pa anlè, ekspozan yo t ap vin negatif lè sa a. Nou t ap genyen:

im13

Kidonk nou rive mete f nou an sou yon fòm jeneral kote nou ka aplike metòd Feynman nan fasil fasil:

im14

Bon, m ap kite ou dekouvri poukont ou rapidite ak pisans metòd sa a. Gras ak metòd sa a, menm fòmil derive kosyan \frac{f(x)}{g(x)} la (ki te konn bay tèt fè mal lekòl) ou pa oblije  memorize li ankò.

Fòmil sa ka ede nou kalkile derive pifò fonksyon nou ap kontre yo. Men gen kèk lòt sitiyasyon ki kapab koke chòt nou, lè sa nou ap bezwen 2 lòt zouti ankò ki se metòd derivasyon logaritmik lan ak metòd derivasyon enplisit la. Nou ap dedye yon biyè espesyal pou yo. Nou ap gen pou nou pale ou tou de derive ènyèm ak derive fraksyonè. Annatandan nou ap kite ou dijere sa ki la yo toujou. Pa bliye, solisyon pou ou ka vin fò a pa konplike: se bat pa kè fòmil debaz yo, epi metrize  prensip ak metòd derivasyon yo nan fè pratik.