Archives pour la catégorie Analiz

Derivasyon enplisit

Pwòf AP pote yon lòt biyè tou cho pou nou sou teknik derivasyon enplisit la.

Yon rivyè k ap fè S.

Li konn enteresan pou n gade ki chemen yon dlo ki soti nan tèt yon mòn pran pou l desann nan pye mòn nan. Se yon chemen ki fè S. Se paske dlo a ap chache pi bon pant la pou l desann. Lè n ap gade televizyon lè y ap bay bilten meteyo, nou ka petèt konn ap mande tèt nou ki jan prezantatè a fè konnen ki direksyon van an ap pran, oubyen kijan avyatè a fè konn ki direksyon pou l bay avyon an pou van pa ba l twòp pwoblèm. Enben se fonksyon enplisit yo k ap ede n konprann epi reponn tout kesyon sa yo.

Jeneralman fonksyon nou abitye kontre yo gen yon varyab ki depann de lòt la. Pa egzanp nan yon fonksyon y=f(x) , x pote non varyab endepandan tandiske y pote non varyab depandan. Pou eksprime y ou bezwen x , yon ekwasyon konsa rele ekwasyon eksplisit. Lè n pran ekwasyon y=f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}+5x}{x^{3}+3x-8}} se yon fonksyon eksplisit. Li byen fasil pou kalkile derive sa a ak derivasyon logaritmik nou sot wè pi wo a. Tandiske nan yon fonksyon y kote, tankou la, x^{3}+y^{3}=6xy , li pa fasil e li menm enposib pou ekri y tankou yon fonksyon ki depann de x sèlman. Tip fonksyon sa yo makònen varyab yo ki se x ak y nan yon relasyon nou rele relasyon enplisit. Yon relasyon konsa ka ekri sou fòm f(x,y)=k kote k se yon eleman nan ansanm reyel yo, \mathbb{R}. Sèl yon lojisyèl kalkil fomèl ki ka rive eksprime y jan nou bezwen an, men…ekspresyon an ap makawon.

Erezman li pa nesesè pou n eksprime y kòm yon fonksyon ki depann de x aklè pou n kapab kalkile derive li. Depi tou de bò ekwasyon an derivab (depi derive a egziste), n ap annik derive chak bò yo apa. Tankou :

Nou dwe jwenn yon ekwasyon ki pemet nou izole y' (se sa jeneralman nou rele tire a). Nou dwe toujou sonje n ap derive y pa rapò ak x . Sa m sot di la a ka petèt pi klè si m aplike l sou ekwasyon ki pi wo a :

Rive nan pwen sa a, li enpòtan pou n raple w kèk ti detay sètènman nou te konnen deja. M vle pale de règ derivasyon fonksyon konpoze yo ak derive fonksyon ekspozan yo.

Si n se yon eleman nan \mathbb{R} epi f(x) se yon fonksyon nou ka derive. Derive fonksyon \left[f(x)\right]^{n} ka pa parèt evidan pou yon moun. N ap itilize nosyon sou derive logaritmik yo nou te wè nan biyè anvan an pou n fè sa parèt klè kou dlo kokoye pou ou.

Pou n kalkile derive fonksyon sa a, an n poze fonksyon an egal ak z (z=\left[f(x)\right]^{n} kote y=f(x) ) epi n ap pran logarit fonksyon z la.

Nou ka remake, nan kolòn derive logaritmik la, nou rive jwenn byen fasil fòmil jeneral derive fonksyon puisans (D_{x}(x^{n})=nx^{n-1} ). Demonstrasyon fòmil bazik sa a souvan sèvi ak fòmil binom Newton nan, an jeneral pou ka kote ekspozan an se yon nonb antye. Men e si ekspozan an se yon fraksyon? Menm si fòmil binom Newton nan ka jeneralize pou ka ekspozan ki se fraksyon yo, nan fen biyè sa ou pral wè kòman byen fasil, gras ak derivasyon enplisit, nou ka jeneralize fòmil derive fonksyon puisans lan pou ka kote ekspozan an se yon fraksyon.

Kidonk, pou nou retounen

Pou ekwasyon nou gen pi wo a, sa ap bay :

Nou vin genyen

Donk, apre nou fin tire y'

Fonksyon yo rele fonksyon enplisit sa yo, jeneralman nou jwenn yo nan domèn sa yo : meteyowoloji, ayewodinamik, elektwonik, topografi, jeoloji, ekonomi, elatriye. Fonksyon sa yo detèmini yon fanmi koub yo rele liy nivo oubyen koub nivo, koub endiferans nan mikwoekonomi, koub izotèm, liy izoba, liy chan, liy kouran, suivan domèn y ap itilize yo a. Liy sa yo souvan pèpandikilè ak yon lòt fanmi koub ki se souvan sa nou konn pi bezwen an. Prefiks izo oubyen eki devan mo sa yo tradui yon koub kote grandè fonksyon an reprezante a gen menm valè a sou tout pwen ki fòme koub la.

Egzanp :

Izoba : koub ki endike tout pwen kote presyon an se menm bagay

Izotèm : koub ki endike tout pwen kote tanperati a se menm bagay

Ekipotansyèl : koub ki endike tout pwen kote potansyèl la se menm bagay

Pou yon tèmisyen konnen nan ki direksyon ekoulman chalè ap fèt li itilize koub izotèm yo. Fanmi koub ekoulman chalè a toujou pèpandikilè ak fanmi koub izotèm yo.

Si n konsidere de fonksyon sa yo :

Premye reprezante yon fanmi ipèbòl epi dezyèm nanreprezante yon lòt fanmi ipèbòl ki genyen dwat y=\pm x yo kòm asenptòt. Nou pral montre chak koub nan premye a pèpandikilè ak chak koub nan dezyèm nan.

Ekwasyon (1) an ak (2) montre nou nan chak pwen kote koub nan chak fanmi yo kontre, pant tanjant yo se opoze envès youn ak lòt. Nou te aprann si pwodui pant de dwat egal ak -1, de dwat sa yo pèpandikilè. ( Gade desen pi ba a.)

Reprezantasyon grafik fanmi koub yo.

Jan nou te anonse sa a, ou kapab sèvi ak derivasyon enplisit pou ou demontre fòmil derivasyon fonksyon puisans lan (D_{x}(x^{n})=nx^{n-1} ) valab menm lè ekspozan an se yon fraksyon (yon nonb rasyonèl ki pran fòm n=\frac{p}{q}, kote p, q se de nonb antye epi q\neq 0 ). Ebyen, nan ka sa a, teknik la se defini yon fonksyon y=x^{\frac{p}{q}} , epi poze y^{q}=x^{p} . Konsa ou ka aplike fòmil derive fonksyon puisans lan sou chak manb pandan ou ap itilize metòd derivasyon enplisit lan. Sa w panse si w eseye?

Wout kwochi a konn pi kout: derivasyon logaritmik


Jodi a, se yon jou espesyal. Se premye kontribisyon nou resevwa nan men yon lektè blòg la. Biyè jodi a, se Pwofesè AP ki pote l pou nou. Lajès li san limit: li gentan gen yon lòt biyè k ap kuit.


Biyè ki te vin anvan an sou zafè derive yo te fè yon bèl rale sou kijan yon moun k ap aprann Matematik pa dwe twonpe tèt li sou dispozisyon li dwe pran pou l byen fè Matematik.  Li pa ra pou yon moun tande yon elèv k ap pale ak yon lòt pou l di: « Mwen menm se mat m renmen paske l pa gen pa kè ladann ». Yon moun ki di sa li twonpe tèt li. Se sèlman lè w konn teyori a byen ou ka metrize matyè a. Si gen yon matyè ki gen plis memorizasyon ladann se matematik. Nou dwe etidye epi memorize chak teyorèm, chak kowolè ak chak definisyon. Se lè sa a n a prèske pare pou nou konprann matyè a.

Si gen yon matyè ki gen plis memorizasyon ladann se matematik.

Pou nou fè suit a biyè ki te pale sou Metòd derivasyon Feynmann nan, jodi a nou pral pale sou Derivasyon logaritmik.

Kèk pouvwa fonksyon logarit la

Nou te wè kijan Metòd derivasyon Feynmann nan se yon zouti puisan pou nou kalkile derive fonksyon konplike ki gen ekspozan, pwodui, divizyon plizyè fonksyon. Pou sa te fèt nou te itilize fòmil derive yon pwodui . Men lè kantite fonksyon ki nan pwodui a depase 3, demonstrasyon sa a ka twò lou. Granmesi yon fonksyon nan Matematik la ki rele logarit (\log oubyen \ln ), travay sa a vin pi fasil, paske fonksyon sa a gen kèk pwopryete ki enteresan lè yo aplike l sou yon pwodui oubyen yon divizyon plizyè fonksyon.

Sa nou ka jeneralize, nan ka pwodui a, konsa:

Ti bemòl nou dwe mete, fonksyon f la dwe yon fonksyon ki pa anile, paske derive logaritmik yon fonksyon se

Nou konnen li pa posib pou n gen zewo kòm denominatè. Si fonksyon f la se yon fonksyon ki pran sèlman valè ki pi gwo pase 0 ( \forall x \in \mathbb{D}_f, f(x)>0), derive logaritmik la fè yon sèl ak derive fonksyon konpoze (\ln f ) la.

Sa vin ba nou, pou yon fonksyon f=u\cdot v\cdot w\cdot z

Kidonk,

Fòmil sa a se menm ak sa nou te jwenn nan biyè sou metòd Feynman lan.

Yon egzanp pou nou fini.

An nou di ou gen pou w kalkile derive yon fonksyon konsa:

Nou ap jis pran logarit 2 manm yo:

Fè m konfyans, si n te pase nan metòd tradisyonèl la, nou t ap fini wi. Men chimen an t ap long.

Lòk

Biyè sa a baze sou yon #thread Twitter @Kreyonomi1 te pwodui sou fenomèn lòk la (lock-in ann angle) nan domèn politik. Teyori ki pèmèt nou pwofonde fenomèn sila a se teyori path dependence lan. Vivyàn Julien te pwopoze nou tradui li « depandans chimen tou trase« . Kidonk, se tradiksyon kreyòl sa a n ap kenbe apatandejodi.

Istwa ak definisyon konsèp la

Teyori a vin alamòd nan yon bann domèn. Men se nan ekonomi koze a sanble te devlope an premye. Lè sa yo t ap chèche konprann blokaj ki ka fè yon biznis pa adopte yon teknoloji ki pi bon pase sa li genyen deja a oswa sa ki konn anpeche li deplase al enstale li nan yon zòn ki pi enteresan pase kote li ye a.

Gen anpil kafouyay nan definisyon yo. Pafwa yo prezante depandans chimen tou trase a kòm si se desten oswa yon madichon. North raple depandans chimen tou trase a pa yon fatalite.

Yon definisyon ki senp di gen depandans chimen tou trase lè premye aksyon oswa premye desizyon yo pouse tout aksyon oswa desizyon ki pral vini apre yo nan menm direksyon ak aksyon oswa desizyon ki te la deja yo. Boutanfen sa kreye yon fenomèn lock-in ki fè ou vin esklav yon direksyon pandan gen lòt direksyon posib. N ap rele sa #lòk pou pi senp, kòm mo sa a alamòd dènye tan sa yo.

Jan nou di a, okòmansman se plis nan ekonomi yo te aplike konsèp sa a. Yo vin aplike li tou pou esplike jan règ ki la deja yo kapab anpeche ekonomi an byen mache. Menm lè règ sa yo pa adapte ankò, sosyete yo gen tandans konsève yo.

Fenomèn nan nan domèn politik

Men se Pierson ki t apral montre fenomèn depandans sa a aplikab pou mond politik la tou. Gen 3 fason sa afekte politik la.

1)Sa ankouraje tèt ansanm (aksyon kolektif) pou pwoteje oswa konsève sistèm nan, li dekouraje aksyon kolektif ki vle chanje sistèm nan.

2)Depandans chimen tou trase a enfliyanse kwayans politik ni politisyen yo ni rès popilasyon an. Kwayans sa yo pèmèt tèt ansanm se vre, men yo konn anpeche chanjman menm lè gen bezwen pou chanjman. Konsekans: si leta vle pote yon refòm, fòk li chèche chanje mantalite yo anvan.

3)Fenomèn sa a limite kantite opsyon sosyete a genyen si li vle adopte pi bon règ, pi bon lwa, pi bon enstitisyon (règ jwèt la). Gen opsyon ki te ka mache depandans chimen tou trase a p ap menm kite yo depoze opsyon sa yo sou tab la paske yo twò depaman ak chimen nou te gentan pran depi anvan an.

Nou sot wè konsekans politik yo. Li klè gen konsekans ekonomik tou, paske lè yon règ oswa yon konpòtman pa adapte ankò epi ou kontinye sèvi ak li, sa ka gen anpil move konsekans.

Kèk egzanp konsekans sa genyen

Nan yon tèks tou kout, Ricardo Parvex montre kòman sa ki te pase depi sou tan lakoloni ak kontèks apre endepandans lan enfliyanse jouk jounen jodi a rapò nou ak anviwònman nou ap viv ladan an. Sa patisipe tou nan katastwòf ekolojik n ap viv aktyèlman an.

Yon lòt egzanp ankò, se atik 674 Kòd Sivil nou an (ki di an gwo depi eritye yo mande sa fòk tè a pataje) ki lakoz tè agrikòl yo ap fè miyèt mòso sot nan yon jenerasyon ale nan yon lòt. Jodi a li parèt difisil pou chanje sa, paske moun yo gentan abitye.

Yon lòt egzanp ankò se Ed’H. Malgre tout moun wè refòm nan enpòtan, sa pa janm ka fèt paske chanjman sa a ap mande yo anpil. Yon egzanp ankò se refòm agrè a ki pa janm ka byen fèt akoz kontradiksyon sistèm ki la deja a te ankouraje nan zafè pataj latè.

Anfen, kòm dènye egzanp, nou ka pran dwadedwàn sou diri enpòte a ki soti byen wo epi nou sanse bese l nèt, sa ki blo pwodiksyon lokal la. Pwoblèm nan, desizyon sa yo depi w fin pran yo, li difisil pou w fè bak, popilasyon an ankò ka leve kanpe (sepandan, anyen pa enposib). Dayè, nou kapab remake se sou yon agiman konsa kèk aktè te baze pou alète moun sou desizyon gouvènman an te anonse li pral pran (e li te finalman pran) pou li retire pandan yon ti tan tarif ladwàn ki sou diri nou enpòte a pou pri li ka bese. Kèk obsèvatè te bay yon pinga, paske dapre yo li ka difisil pou nou fè bak apre sa.

Kounye a, kòm nou sot wè konsekans depandans chimen tou trase a, li te ka enteresan pou nou gade mak fabrik pwoblèm sa a (sa ki ka ede nou detekte l) epi kisa ki lakòz li. Sa yo yon ti jan teyorik, men yo ap ede nou konprann fenomèn nan pi byen.

Mak fabrik fenomèn nan

Li bon pou nou konnen karakteristik yon pwosesis ki suiv fenomèn sa a. Kòman sa manifeste? Pierson (2000) liste 4 mak fabrik pwosesis sa yo.

1) Yo enprevizib. Kòm sa ki pase deja ka jwe sou sa ki pral pase jis annapre, ou pa janm fin konnen fin ka prevwa alavans ki diresksyon sistèm nan ap pran.

2) Yo pa fleksib. Plis tan ap pase, se plis li difisil pou sistèm nan chanje direksyon. Plis tan ap pase, se plis gen opsyon anvan sa ki te posib ki vin pa posib ankò.

3) Sistèm sa yo pa « ègodik ». Yon sistèm ègodik lè li kapab pran tout chimen posib yo e lè konsa li ka retounen jan li te ye anvan an. Sistèm ègodik yo san memwa, san istwa. Men lè gen depandans chimen tou trase, tout sa ki pase deja ka enfliyanse sa ki ka pase ann apre yo, listwa enpòtan.

4) Pwosesis sa yo pa toujou bay pi bon rannman posib la. Vrèmanvre, kòm yo gentan tandans lòk sou yon direksyon fiks, kapab gen lòt direksyon ki te ka bay pi bon rezilta men sistèm nan p ap janm teste direksyon sa yo.

Kèk lòt egzanp pou konprann mak fabrik yo pi byen

Yon egzanp klasik depandans chimen tou trase se klavye n ap itilize yo. Jan yo pozisyone lèt yo sou klavye QWERTY yo pa pi bon fason yo te ka fè sa. Gen lòt opsyon klavye ki te ka pèmèt nou pi rapid, pi efikas. Men nou tèlman gentan abitye ak sa nou gen la a, lòt opsyon sa yo vin pa gen mache pou yo.

Yon lòt egzanp, se sistèm retrèt Lafrans lan, ki chita sou yon lojik repatisyon (ki pa adapte ankò ak reyalite demografik peyi sa a) olye yon sistèm ki baze sou kapitalizasyon. ki te ka pi adapte ak reyalite a. Men refòm sa a pa janm ka reyalize toutbon akoz yon fenomèn lòk sou sistèm ki la deja a.

Nan yon pwochen biyè sou menm dosye a, n ap antre plis nan fondèt teyori sa a kote nou pral gade koz fenomèn nan. N ap gade kèk ka kote otè sèvi ak kadraj sa a pou analize divès sitiyasyon, soti nan enstitisyon nou bezwen pou adapte nou a chanjman klimatik yo rive nan fason règ yo evolye lè se yon kominote ki ap jere resous natirèl yo.

NB: n ap pataje lyen Google Doc ki gen tout referans yo yon sèl kou, lè nou fini ak pwochen biyè a.

Derive: kèk règ kalkil

rich

Richard Feynman, yonn nan pi gwo pwofesè fizik ki pase sou latè (yonn nan pi gwo fizisyen tou), te ekri yon liv pratikpratik pou ede etidyan yo rezoud egzèsis ki koke chòt yo. Premye bagay li atake nan chapit 1 liv sa a, yon liv mwen ankouraje ou li, se baz matematik moun bezwen pou yo kapab fè fizik, e derivasyon se premye zouti li prezante. Sa ki enteresan nan chapit sa a, M. Feynman bay yon konsèy ki ta kapab etone anpil moun. M ap pran yon ekstrè mete la (se mwen ki tradui li):

Erè moun fè nan aljèb, nan derivasyon ak nan entegrasyon tou senpman raz; yo nèvan alafwa pou syans fizik la ak pou lespri pa ou pandan ou ap eseye analize yon bagay. Ou ta dwe kapab fè kalkil sa yo nan yon bat je ak mwens fot posib. Sèl sa sa mande se bat yon ti pakè- pa gen wout pa bwa. Se tankou aprann tab miltiplikasyon pa kè, jan ou te konn fè sa nan lekòl primè: yo te konn met yon pil nonb sou tablo a epi ou te konn al sou li: « sa fwa sa, sa fwa sa, eks. »-Boum! Boum! Boum!

Wi, pwofesè Feynman te gen rezon. Gen yon nivo alèz pou ou atenn li nan Analiz matematik la, kòm se li ki enterese nou pou kounye a, gen bagay se reflèks yo dwe ye e genyen yon minimòm « pakè » ki dwe fò sou ou. Se pa t janm pakè a ki te pwoblèm nan, se pakè san konprann ki gwo pwoblèm sistèm edikatif nou an Ayiti. Menm jan pakè san konprann se yon estrateji frajil, se konsa tou konprann san yon minimòm pakè konn yon andikap tou (sitou, li kapab fè ou pèdi yon pil tan pou granmesi).

Nan biyè sa a nou pral eseye alafwa esplike epi ba ou yon seri ti teknik ak rezilta li bon pou ou konnen pa kè pou ou kapab maton nan kalkil derive yo.

Nan nannan derive a

Sa pa pi konplike pase sa. Derive yo se limit yo ye. Sa vle di, lè ou genyen yon fonksyon poukont li epi ou bezwen derive li nan yon pwen, se limit yon rapò ki ap ba ou li. Menm si ou pa ta konnen kisa fonksyon derive a bay, ou kapab toujou jwenn rezilta sa a gras ak fòmil ki defini derive a senpman. Epi, jan nou te wè sa nan yon biyè nou te ekri sou limit yo, lè ou ap chèche limit nan yon pwen, se pa tèlman pwen an ki enterese ou, se pito sa ki ap panse nan vwazinaj pwen sa a, alafwa agoch li ak adwat li. Kidonk, li posib, si limit la egziste, pou ou jwenn rezilta ou bezwen an ganmesi kèk pwen ki tou pre pwen ki enterese ou a, ou ap nik foure valè pwen sa yo nan fonksyon oswa rapò ki enterese ou a epi ou gade ki konpòtman ki afiche (ki valè rapò sa a ap pwoche al jwenn).

Ti teknik sa a ka parèt senp, men anpil moun fasil bliye li epi li mande yon bon konpreyansyon sou nannan derive yo. Ou kapab sezi wè nan kèk sitiyasyon difisil jan  li ka debloke ou.

Règ derivasyon an chenn

Se yon règ ou pa ka pa konnen. Poukisa li enpòtan? Sa ki pase, jan nou pral wè sa pi ba a, gen yon seri ti fonksyon tou senp ou ap finalman konnen derive yo pa kè, pa fòs. Se tankou yon bann ti fonksyon debaz, yon bann ti fonksyon pa ka pa la. Fonksyon sa yo pa anpil, li posib pou ou aprann konnen yo chak ak tout derive yo sa yo bay. Kounye a, an nou sipoze ou ta konn tout, èske tout traka ou fini pou sa? Non. Paske anpil fonksyon nou ap gen pou nou rankontre nan reyalite a se yon konbinezon ( menm si nou granmoun, tèm teknik lan se konpozisyon) fonksyon debaz yo. Fonksyon konpoze ki pi senp nou ka imajine a, se yon fonksyon debaz kote varyab endepandan li a, olye li se yon senp x, an reyalite li se yon lòt fonksyon debaz. Kounye a, se vre nou konn derive chak fonksyon debaz sa yo apa, men nou pa konnen lè yonn antre nan lòt konsa kisa derive a ap bay. Ebyen se la règ derivasyon an chenn nan vin itil.

Règ derivasyon  an chenn nan di nou fòk nou kalkile derive a an plizyè etap, an chenn: 1) kòmanse jwenn derive manman fonksyon (sa ki aji sou lòt fonksyon ki anba zèl li a) parapò ak fonksyon ki anba zèl l. Sa vle di derive fonksyon ki « pa deyò a » parapò ak fonksyon ki pa anndan an, fonksyon ki jwe wòl varyab li a 2) Derive fonksyon ki anba zèl manman fonksyon an, sa vle di fonksyon ki pa anndan an, parapò ak varyab li a 3) Si varyab fonksyon ki nan etap 2 a se yon lòt fonksyon ankò, ou ap repete menm etap la pou li 4)Anfen lè ou fin fè travay sa pou tout fonksyon yo jouk ou rive nan derive yon fonksyon debaz, ebyen apre sa ou ap miltipliye tout derive ou jwenn nan etap anvan yo ansanm pou ou ka jwenn derive manman fonksyon an parapò ak varyab final la.

Se pa grav si ou pa konprann anyen nan 2 paragraf pi wo yo. Nou pral pran yon egzanp epi tout bagay ap vin klè.

An nou di nou genyen 2 fonksyon debaz (sa vle di 2 fonksyon nou te gentan konnen derive yo pakè gras ak yon fòmil tou fèt). An nou di premye a se f(x) epi dezyèm nan se g(t). De fonksyon sa yo, derive yo chak apa se f'(x) epi g’(t). Si tout analiz la se te sa sèlman, lavi  nou t ap twò fasil. Men jan nou sot di a, sa ka rive nou kontre ak fonksyon konpoze. Tankou, nan egzanp nou an, f ka vin yon fonksyon g ki li menm se yon fonksyon t. Sa vle di kisa? Nan plas f(x) nou te genyen okòmansman an ki te yon fonksyon x, ebyen nou vin genyen g ki pran plas x la. Kidonk, g vin tounen yon varyab pou f. Nou vin genyen f[g(t)] olye f(x) nou te genyen an. f jwe wòl manman fonksyon an, epi g se fonksyon ki anba zèl li a. Fòk nou admèt nouvo fonksyon sa nou genyen an, nou pa t etidye derive li, menm si nou konn derive chak pati ki ladan (f ak g poukont pa yo).

Ebyen, se règ derivasyon an chenn nan ki di nou sa pou nou fè. Li di nou nan f[g(t)] a, pou nou jwenn derive a: 1) nou ap fè kòm si se x ki te nan plas g, kidonk aplike derive f la parapò g jan nou t ap fè l si se te x ki te nan plas g a: kidonk, nou ap genyen f'(g).  2) apre sa, règ la di nou pran fonksyon ki anba zèl f la, epi kalkile derive pa l parapò ak sa ki jwe wòl varyab pou li a jouk nou rive nan yon fonksyon debaz nou konnen derive l san pwoblèm. Nan ka sa a, g se yon fonksyon t li ye, e t li menm se yon varyab senp, li pa yon fonksyon lòt varyab. Kidonk nou ka tou kanpe la ak kalkil derive yo lè nou fini. Kòm nou te gentan konnen derive g se te g'(t), ebyen derive nou jwenn nan dezyèm etap sa a se g'(t) 3) dènye etap la se pran tout mayon chenn nan, sa vle di derive nou jwenn nan chak etap anvan yo, miltipliye yo ansanm pou nou ka jwenn derive final la, sa vle di f('t) oswa nou te ka ekri li tou (f[g(t)])'. Odonk derive nou ap chèche a egal: f('t)=f'(g) \times g'(t).

Ou ap jwenn yon demonstrasyon règ derivasyon an chenn nan, pou ka ki pi senp lan (2 fonksyon reyèl yon sèl varyab, tankou sa nou sot pran yo) si ou klike sou lyen sa a: demonstrasyon règ derivasyon an chenn nan

Derive kèk fonksyon debaz

Se nan etap sa a pakè a pi enpòtan. Alòs lè nou di pakè a, sa pa vle di sa nou pral di yo pa ka demontre non. Dayè nou ap demontre yo, men se ap nan yon biyè blòg separe ki ap gen kèk ekzanp pratik tou, pou biyè sa ou ap li kounye a pa twò long. Epi demonstrasyon yo fasil pou jwenn sou entènèt la. Men sa nou vle ou konprann, menm si ou ta ka demontre yo tout, li enpòtan pou ou konnen yo pa kè, pou li vin yon reflèks, depi ou wè yo repons lan dwe monte « Boum! Boum! Boum! », kon di Pwofesè Feynman.

Nou fè anpil tan ap pale sou lis fonksyon pa ka pa la sa yo, yon seri fonksyon ki plede parèt nan pifò gwo tonton fonksyon nou abitye wè yo, menm sa ki pi konplike yo. Chaje lis konsa sou entènèt la, men dapre mwen, anpil nan yo te ka pi kout. Poukisa si m fin konn derive x^{\alpha}, kote \alpha ka nenpòt nonb reyèl, mwen oblije aprann derive yon fonksyon tankou \frac{1}{x} mete sou li, alòske mwen te ka nik mete -1 nan plas \alpha a?

Pou nou, men fonksyon ki pi enpòtan pou konnen yo, ak tout derive yo nan foto ki pi ba a.

  1. Fonksyon konstant lan (derive li se 0)
  2. Fonksyon idantite a (derive li se 1)
  3. Fonksyon lineyè a
  4. Fonksyon pisans lan
  5. Fonksyon eksponansyèl la (derive li se tèt li ankò)
  6. Fonksyon \ln nan (logaritm natirèl oswa neperyen an)
  7. Fonksyon sinis (\sin)
  8. Fonksyon kosinis (\cos)
  9. Fonskyon tanjant lan tou, petèt (\tan)
  10. Fonksyon \arcsin nan
  11. Fonksyon \arccos la
  12. Fonksyon \arctan nan

M pa kwè genyen lòt ankò ki enpòtan pase sa non. Lòt yo an jeneral ou ka jwenn yo apati sa yo.  Men yon egzanp lis ou ka jwenn sou entènèt la si ou tape « tableau dérivée » sou Google (gade imaj ki pi ba a). tabloderive

Sous: J. Y Baudot

Alòs, genyen kèk lòt règ nou gen pou nou wè wi, men yo pa anpil. Nou pa lwen fini. Lòt règ yo gen pou wè ak operasyon nou ka fè ak fonksyon yo. Konpozisyon nou te wè pi wo a se yon egzanp operasyon konsa, men gen lòt ankò ki pi senp tankou adisyon (oswa sòm), miltiplikasyon (oswa pwodui) 2 fonksyon. Ka kote yon fonksyon  se ekspozan yon lòt fonksyon an nou ap wè li nan yon lòt biyè. Sou entènèt la nou ap wè yon pil règ, men yon moun pa oblije konn tout: fòmil pou adisyon an ak fòmil pou miltiplikasyon an, metòd kalkil Feynman lan ta dwe sifi pou anpil sikonstans. An nou gade yo pi pre.

Derive sòm 2 fonksyon

Derive adisyon 2 fonksyon egal adisyon derive 2 fonksyon sa yo (derive yon sòm se sòm derive yo). Se definisyon derive a yo jis aplike.

Derive pwodui 2 fonksyon

Derive miltiplikasyon 2 fonksyon PA EGAL senp miltiplikasyon 2 fonksyon sa yo, malerezman. Lavi a t ap twò fasil. Se pa sa nou jwenn lè nou aplike definisyon derive a sou yon pwodui 2 fonksyon. Pou ou jwenn derive yon pwodui 2 fonksyon, genyen 2 etap: 1)pran pwodui yonn nan fonksyon sa yo ak derive lòt fonksyon an 2) pran pwodui lòt fonksyon an parapò ak derive fonksyon anvan an 3) adisyone rezilta etap 1) ak etap 2) a.

Tankou, an nou di 2 fonksyon nou yo se u(x) ak v(x)., ebyen si nou ap chèche derive pwodui yo de a, sa vle di derive u \times v, li ap egal:

im1

Se règ sa a ki pral enspire metòd derivasyon Feynman prezante nan liv li a. Se li nou pral prezante la. Kòmansman an yon ti jan teknik, men apre sou aplike l sou yon egzanp konkrè.

Metòd derivasyon Feynman lan

Si nou retounen nan fòmil pou pwodui 2 fonksyon an, nou kapab ekri li sou yon lòt fòm.

Si nou di fonksyon ki enterese nou an se f=uv, ebyen nou kapab fè f parèt nan fòmil pwodui a:

im1

im2 (Nou senpman miltipliye epi divize pa uv, sa ki boutanfen pa chanje anyen.)

Kòm f=uv, ebyen:

im3

Men nou te ka travay sou yon fòm fonksyon f ki pi jeneral toujou, tankou

im4

im5 (lè nou aplike fòmil pwodui a)

Kounye a si nou aplike règ derivasyon an chèn nan sou (u^a)' ak (v^b)', nou ap jwenn:

im6

Kounye a, si nou fè f parèt (miltipliye epi an menm tan divize pa ), nou ap jwenn:

im7

Ki vle di, apre kèk senplifikasyon:

im8

Se sou fòmil (1) sa a metòd Feynman pwopoze nan liv li a baze. Sa pa enpòtan pou yon moun konprann lojik ki mennen la a (Feynman pa menm pran tan bay tout detay nou bay la yo). Se jan pou ou aplike fòmil la ki pi enteresan. Lòt bagay nou bezwen sonje ankò anvan nou aplike fòmil la, se règ adisyon an, si nou annafè ak adisyon 2 gwo fonksyon, ebyen nou ka nik kalkile derive chak apa gras ak metòd Feynman nan epi fè adisyon 2 derive yo annapre. Pou nou aplike metòd Feynman nan, nou bezwen ekri chak blòk fonksyon sou fòm jeneral im4 a (alòs nou te ka gen plis fonksyon toujou wi, olye u ak v sèlman, se t ap menm demach la).

An nou pran yon egzanp.

An nou di nou bezwen kalkile derive fonksyon sa a:

im9

M ap jis remake li parèt sou yon fòm:

im10, kote \alpha a se 6 ki devan parantèz la.

Donk lè mwen aplike fòmil (1) an, mwen jwenn:

im11

Kote premye akolad kouche a reprezante f ankò ki nan kòmansman fòmil la, dezyèm akolad la se a ki te ekspozan u a, twazyèm akolad la se \frac{u'}{u}, katriyèm akolad la se ekspozan v a (sa vle di b ki nan fòmil lan), epi dènye akolad la se \frac{v'}{v}.  Epi sa ou tande nou fini tou wi. Alòs rete kèk senplifikasyon pou nou fè pou rann espresyon an pi senp, men derivasyon an fini la. Nan yon bat je, ou gentan « wè » derive » fonksyon an sa li ap bay, menm si fonksyon an ta long anpil.

Nan ka fonksyon ki sou fòm fraksyon yo, se menm demach la, sèlman espresyon ki pa anba ba fraksyon an nou ap bezwen voye yo anlè pandan ekspozan an ap vin negatif. Tankou si nou te genyen:

im12

Nou pa t ap bezwen panike. Nou t ap nik kòmanse remake rasin kare ki pa anba a se tankou se te ekspozan \frac{1}{2}, kidonk:

im15

Apre sa nou t ap pran tout sa ki nan denominatè a nou voye yo pa anlè, ekspozan yo t ap vin negatif lè sa a. Nou t ap genyen:

im13

Kidonk nou rive mete f nou an sou yon fòm jeneral kote nou ka aplike metòd Feynman nan fasil fasil:

im14

Bon, m ap kite ou dekouvri poukont ou rapidite ak pisans metòd sa a. Gras ak metòd sa a, menm fòmil derive kosyan \frac{f(x)}{g(x)} la (ki te konn bay tèt fè mal lekòl) ou pa oblije  memorize li ankò.

Fòmil sa ka ede nou kalkile derive pifò fonksyon nou ap kontre yo. Men gen kèk lòt sitiyasyon ki kapab koke chòt nou, lè sa nou ap bezwen 2 lòt zouti ankò ki se metòd derivasyon logaritmik lan ak metòd derivasyon enplisit la. Nou ap dedye yon biyè espesyal pou yo. Nou ap gen pou nou pale ou tou de derive ènyèm ak derive fraksyonè. Annatandan nou ap kite ou dijere sa ki la yo toujou. Pa bliye, solisyon pou ou ka vin fò a pa konplike: se bat pa kè fòmil debaz yo, epi metrize  prensip ak metòd derivasyon yo nan fè pratik.

Derive: yon istwa kafe cho nan gòdèt emaye (1)

Ou lakay ou. Li fè cho deyò a, men lakay ou klimatize. 20 degre nan tout pyès kay yo nan moman an. Pou kounye a, ou nan salamanje a. Ou gen yon bèl gòdèt kafe cho cho cho sou tab la. Tanperati li se 100 degre Celcius. Lontan ou te konn bwè kafe cho anpil, bò 70 degre yo, men depi lè ou aprann bwè kafe twò cho ogmante risk pou ou devlope yon kansè nan gòjèt ou, ou fè kwa. Ou di ou ap kòmanse bwè kafe ou yo a 50 degre pito, ni pi cho ni pi frèt. Ou gen yon tèmomèt espesyal ki fèt pou bweson cho (ou achte l depi apre ou te fin boule nan yon chokola cho), men ou pa wè ou menm ki pral plede sèvi avèk li chak 3 segonn. Sa ou ta renmen pito, se konnen a ki vitès kafe ou a ap refwadi e apre konbyen tan egzakteman li ap soti nan 100 degre li ye a pou li rive nan 50 degre ou pa ka tann nan? Eske gen yon fason ou ka konnen pou chak moman ki tanperati kafe ou a?

temomet
Yon tèmomèt pou bwason ki cho

Ou konnen, tout jan tout jan, kafe ou a gen pou gen menm tanperati ak salamanje a (sa vle di 20 degre), si ou pa gentan fin bwè li. Dènye fwa a, pou ou te ka konn a ki vitès li ap vin frèt, ou te deside gade apre konbyen tan li vin frèt nèt. Ou wè sa te pran 30 minit. Sa vle di li te soti nan 100 degre pou tonbe 20 degre (ki vle di li te pèdi 80 degre) nan espas 30 minit. Kidonk, ou te konkli vitès refwadisman kafe a lè ou lakay ou se v=\frac{80}{30}= 2,66 \, degre/minit. Ositou, kòm ou te bezwen kafe 100 degre ou a pèdi 50 degre pou li ka rive 50 degre, ou kouri fè ti lojik règ an twa yo te montre ou lekòl la: si nan yon minit kafe ou a pèdi 2,66 degre, ebyen kantite minit li ap bezwen pou li pèdi 50 degre se t=\frac{50}{2,66}=18,8 \, minit . Sou baz sa ou te konkli apre 19 minit anviwon, kafe ou a ta dwe rive 50 degre, kidonk l ap cho ase san li pa depase limit.

Ou deside mete alam nan sou 20 minit ou fini pou plis prekosyon, olye 19 minit. Ou di konsa, ebyen pandan gwo 20 minit sa, ou ap tou pwofite fè yon ti rechèch sou Google pou ka wè si pa gen yon bon pwochen ki atake pwoblèm egzistansyèl refwadisman kafe a deja.

Apre plizyè minit ap antre mo kle ki pa gen rapò, ou resi tonbe sou yon atik Wikipedia ki pale sou yon swadizan Lwa Refwadisman Newton ki gen yon derive ladan. Kòm ou konn siyifikasyon derive yo depi lè ou te aprann li lekòl, kè w manke ale paske ou gentan santi ou fè yon erè, ou kouri al chèche sou Google si pa gen kèk egzanp eksperyans ki fèt deja pou gade kòman yon kafe refwadi anmezi tan ap pase, epi ou tonbe sou koub pi ba a ki di apre 20 minit, tanperati yon kafe ki te a 100 degre nan yon pyès 20 degre (tankou salamanje ou a) ap gentan desann a anviwon 30 degre! Menm kote a alam ou te mete sou telefòn ou an sonnen. Ou kouri al goute kafe a, ou dekouvri li gentan tyèd tyèd… Se pa ti dekouraje ou pa dekouraje.

Men kisa ki te pase menm ki fè kalkil ou te fè yo pa t mache? Se sa nou pral dekouvri nan biyè blòg sa a gras ak nosyon derive a, yon nosyon dimansyon wòdpòte nou te gentan esplike istwa li ak ti mesye Isaac Newton epi Leibniz yo. Nou t ap prepare teren an depi lontan tou  ak nosyon fonksyon an, montedesann ki gen nan fonksyon yo, nosyon pant lan epi limit yo pou nou te ka ofri yon bèlantre sou nosyon fondamantal sa a nan Analiz. Pwomès se dèt. Jodi a nou pral dekòtike sa ki derive a.

 

Evolisyon tanperati yon kafe 100 degre nan yon pyès 20 degre Celcius an fonksyon minit k ap pase
Sous: Ecole Polytechnique Montréal

Lojik ki dèyè derive a

Pou nou konprann sa ki pase nan egzanp kafe cho nou sot pran an, an nou gade 3 fason diferan yo konn entèprete derive a. Nou ap kòmanse ak sa ki pi pratik la pou nou ale nan sa ki pi abstrè oswa pi fòmèl la.

Premye fason nou ka imajine sa ki yon derive, se wè l tankou yon vitès. Men se pa nenpòt ki vitès. Vitès nou pi abitye avè l la se yon vitès mwayèn li ye, sa vle di jan yon deplasman fèt sou yon entèval tan. Tankou lè nou di vitès yon machin se 30 kilomèt/è, se tankou nou di, si li t ap suiv yon liy dwat, li t ap bat 30 kilomèt nan espas inèdtan. Men yon vitès mwayèn pa di nou pou entèval tan ki pi piti yo, men kòman machin nan t ap woule. Reflechi byen. Yon machin ki bat 30 kilomèt nan inèdtan te ka toujou fè ti kanpe nan wout, ralanti, epi akselere, ralanti ankò. Sèl sa ki konte, se pou li pran egzakteman inèdtan pou li bat 30 kilomèt la. Li klè 30 kilomèt/è pa yon vitès egzajere. Men sa ka toujou rive, pandan inèdtan sa a gen moman kote machin nan t ap kouri tout boulin e si se nan moman sa yo li frape yon moun, li ka tou voye moun nan nan peyi san chapo.

Vitès mwayèn nan se tankou mwayèn ou te konn fè pou yon trimès lè ou te lekòl, si ou pa pase pou trimès la sa pa vle di ou te remèt monnen nan tout matyè yo: sa ka toujou rive gen yon matyè ou te fè 100 sou 100 pou li. Kidonk vitès mwayèn nan gen enfòmasyon li pa ban nou. Se vre li di nou men kòman sa dewoule anndan yon entèval tan, men li pa di nou kòman sa dewoule achak moman, lapoula: li pa pèmèt nou konn sa ki ap pase lè pa gen entèval ditou. Tankou lè yon machin fè aksidan, sa ki plis enterese nou se pa vitès li te genyen sou yon entèval, men pito vitès li te genyen lapoula a, nan moman menm li te fè aksidan an. Lè nou di derive a kapab yon vitès la, se vitès sa a ki nan lespri nou.

Nan biyè nou te ekri sou nosyon pant lan, nou te wè pant yon dwat pa janm chanje, li toujou menm bagay la sou kèlkelanswa pati nou pran nan dwat la. Nou te sèvi ak egzanp yon mòn n ap monte ki apik. Kèlkeswa kote ou ye a, nivo apik pant lan apik la (an nou rele sa a apikite oswa panchman pant lan) pa chanje, kit ou nan pye mòn nan kit ou toupre tèt mòn nan.

Nou te wè, tank nou ap monte mòn nan, gen 2 bagay ki ap varye an menm tan: altitid nou (wotè nou parapò ak pye mòn nan) ak deplasman nou annavan (distans orizontal ki separe nou ak pye mòn nan). E pant lan se rapò premye a sou dezyèm nan ki ban nou li. Kidonk pant lan se yon mwayèn li ye tou, varyasyon altitid la sou varyasyon deplasman orizontal la. Men e si nou pa annafè ak yon liy dwat?

Reflechi byen. Gen mòn ki yon ti jan bonbe. Okòmansman pant lan ka apik apre sa tank ou ap pwoche tèt mòn nan se tank pant lan ap vin dous jouk finalman ou rive nan yon plato anvan ou tonbe desann. Li klè sa nou te rele pant lan pa fiks ankò lè sa a. Lè konsa, pant lan pa ka di nou sa ki ap pase tou de varyab yo yonn parapò ak lòt pou chak moman. Soti la al la tou pre a, pant lan gen dwa pa twò chanje, men soti nan pye mòn nan rive sou plato a gen gwo chanjman nan pant lan (sou plato a pa gen pant ditou pandan nan pye mòn nan pant lan te apik). Se sa ki fè, kounye a, pou nou kalkile pant nou an, nou oblije travay sou ti entèval piti piti si se pa sa sa p ap mache.

An reyalite, menm lè nou pa annafè ak yon dwat ankò, pati ki koube a, si nou ta zoume li alenfini, t ap rive yon kote nou t ap gen enpresyon se yon liy dwat li ye olye li yon koub. Ou ka fè eksperyans lan, trase yon koub nan yon paj kaye, rale kamera telefòn ou, ba li gwo zoum nan pati ki bonbe a epi fè foto a. Ou ap sezi wè nan foto a pati ki te bonbe a vin mwens bonbe, ou ka menm gen enpresyon li vin dwat. Kidonk, lè nou konsantre nou sou yon ti entèval zuit zuit (tèlman zuit ou sanse kapab konfonn li ak yon pwen), nou finalman jwenn yon dwat ki konfonn ak pati sa a nan koub nou an (ki vle di ang yo fòme ansanm sou entèval zuit zuit sa a li egal 0, gade nan animasyon pi ba a jan dwat n ap pale a sanble fè yon sèl ak koub la nan pwen an). Dwat sa a, tankou tout dwat, gen yon sèl pant toupatou. Dwat sa nou jwenn nan yo rele li tanjant koub nou an. Kidonk pant dwat sa a, pou ti entèval zuit zuit nou te pran an (« pwen an ») li konfonn ak pant koub nou an. Yo rele pant tanjant sa a « derive » koub la nan pwen sa a. Li klè si nou pwolonje tanjant sa a ap rive yon kote li ap detache ak « pwen » nou te pran sou koub la. Men nou kapab refè menm bagay la pou lòt pwen yo epi finalman jwenn yon tanjant pou chak pwen. Nan egzanp mòn ki genyen fòm bonbe nou te pran an, pant tanjant lan nan yon pwen, sa vle di derive a, di mwen lè mwen nan pozisyon sa a sou mòn nan, men nan ki degre mòn nan panche nan pwen sa a egzakteman.

Tanjant yon koub nan yon pwen Sous: Wikipedia

Nou sot wè 2 nan entèpretasyon derive yo: li kapab yon vitès, li kapab pant tanjant yon koub. Vitès an jeneral se deplasman parapò ak tan, men nou te ka fè menm lojik la pou kèlkelanswa 2 varyab nou pran: tanperati parapò ak tan (egzanp kafe a), popilasyon parapò ak tan (grandisman popilasyon an, nan demografi), lajan parapò ak volim pwodiksyon (resèt majinal nan ekonomi), elatriye. Se poutèt sa, olye nou di vitès, pou nou pi jeneral, nou kapab di to varyasyon pito. Kòm vitès nou ap pale a se yon vitès lapoula, enstantane, ebyen nou kapab di derive a se yon to varyasyon enstantane. Kounye a, pou nou rive nan twazyèm entèpretasyon derive a, nou kapab mande tèt nou si pa gen yon fòmil jeneral ki anglobe tout sa yo e ki ta ka tou sèvi nou definisyon nosyon derive a? Repons lan se wi. An nou gade.

Kòman yo defini vitès? Si deplasman an ap fèt sou yon liy dwat, vitès la se deplasman/(entèval tan). Si nou rele pozisyon an y, deplasman an se varyasyon pozisyon y la, si nou rele tan an t, entèval tan an se varyasyon tan t a.

vites

Sa a se yon vitès mwayèn. Nou te di derive a gen pou wè ak yon entèval tan zuit zuit, ki tèlman piti ou ta kapab menm di \Delta t vo zewo. Kidonk, vitès enstantane nou an an reyalite se yon limit li ye, limit vitès mwayèn nou an lè \Delta t  \rightarrow 0. Kidonk

vlimit

Menm jan an tou, nou te wè pant yon dwat se rapò varyasyon y la sou varyasyon x.

Pente_droite

Nou sot wè derive a se jeneralizasyon nosyon pant lan pou koub yo lè nou konsantre nou sou yon ti entèval x ki tèlman piti ou ta kapab di finalman entèval sa a se zewo. Lè konsa, pati sa nou pran nan koub la vin sanble ak yon liy dwat yo rele tanjant e pant tanjant sa a se li nou rele derive a. Kidonk, pou nou te jwenn tanjant sa a, se \Delta x  \rightarrow 0 nou te oblije fè. Dwat ou t ap jwenn si ou pa t fè \Delta x  \rightarrow 0 a t ap rele sekant, paske entèval x la t ap tèlman gwo dwat nou t ap chèche a t ap oblije koupe koub nou an nan plizyè pwen san li pa bay enpresyon li fè yon sèl ak koub la nan vwazinaj pwen ki enterese nou an. Dènye pwen sa enpòtan, se li ki pèmèt nou distenge sekant ak tanjant, paske anyen pa anpeche yon tanjant koupe yon koub nan plizyè pwen menm jan ak yon sekant. Kidonk, pou nou retounen, pant tanjant lan se:

mlimit

Sou baz de fòmil sa yo, nou kapab pwopoze yon fòmil jeneral pou yon fonksyon y=f(x) an jeneral. Varyasyon y la se \Delta y=\Delta f=y-y_0=f(x)-f(x_0). Si entèval x nou pran an soti nan x_0 ale nan yon x kèlkonk, ebyen nou genyen \Delta x=x-x_0. Derive a nou ap jwenn li lè \Delta x \rightarrow 0, osnon nou te ka di tou (x-x_0) \rightarrow 0 \Rightarrow x\rightarrow x_0 .

derivef

Tout fòmil sa yo defini menm bagay la: nosyon derive a nan yon pwen pou yon fonksyon f(x).

Yo konn note valè sa nou jwenn nan plizyè fason. Gen omwen 5 fasonprim

Premye a se notasyon Lagrange lan, dezyèm nan ak twazyèm nan se Leibniz ki vin ak yo, katriyèm nan se notasyon Newton nan (nou plis jwenn li nan domèn fizik), dènye a se Euler ki te konn itilize l. Gen plizyè lòt notasyon ankò (sitou pou fonksyon plizyè varyab yo), men sa ki enpòtan se konnen tout sa nou sot bay yo vle di derive yon fonksyon (f) nan yon pwen (x_0) parapò ak yon varyab (x).

Lè li posib pou nou jwenn yon fonksyon ki di nou pou kèlkeswa pwen x_0 nou chwazi anndan yon domèn, men konbyen derive fonksyon an ap bay nan pwen sa a, yo konn an nik mete x nan plas x_0 a pou montre fwa sa nou annafè ak yon fonksyon derive. Egzanp, Lwa Refwadisman Newton nan se yon fonksyon derive li ye. Li di nou pou chak tanperati yon objè omojèn (nou te sipoze kafe cho a omojèn) ki ap refwadi rive pran, men ki vitès refwadisman li nan moman li rive nan tanperati sa a. Nan egzanp kafe nou an, si $latex T_{kafe}(t)$ se tanperati kafe a an fonksyon tan an epi $latex T_{salamanje}$ se tanperati salamanje a, yon valè fiks, ebyen lwa refwadisman Newton di nou achak moman men ki vitès refwadisman kafe a:

kote \alpha se yon koyefisyan refwadisman ki pran yon valè fiks nan eksperyans lan. Nou kapab remake valè derive a (ki vle di vitès refwadisman an) pa fiks, li fonksyon tanperati kafe a ki li menm ap dekwat anmezi tan ap pase.

Kidonk nou kapab wè operasyon nou rele derive a gen yon dimansyon wòdpòte paske nenpòt kote ki gen yon fonksyon ki konekte varyab ak lòt varyab, gen posiblite pou nou foure yon derive ladan. Men nou bezwen konnen plis sou fonksyon derive yo anvan nou kòmanse sèvi ak li, nou pa ka ap antre nan won san baton. Nan seksyon ki vin apre a, nou pral dekouvri kèk mak fabrik fonksyon derive a, jan ou kapab jwe avèk li, sou ki kondisyon. Sa ou panse si nou kite derive a prezante tèt li poukont li epi ban nou règ jwèt la dirèkteman pito?

Non pa m se derive

Nan seksyon sa a nou pral fè konesans. Ou pral sezi wè lè ou pot fonksyon yo ban mwen kisa m fè yo, men tou sou ki kondisyon m ap dakò jwe jwèt la.

Premye bagay pou ou byen konnen sou mwen, mwen se limit yon fonksyon oswa yon ekspresyon. E tankou tout limit, mwen gen lè m, swivan fonksyon ou pote ban mwen an. Gen fonksyon ou ap pote ban mwen, m ap nik di ou non m pa kapab. Gen lòt fonksyon m ap asepte, men m ap di w gen kèk zòn nan fonksyon sa a ki se zòn nondwa pou mwen, m pa pral la. Espesyalman, gen yon kondisyon mwen pa negosye si ou vle mwen travay sou yon fonksyon oswa sou yon pwen anndan yon fonksyon pou ou: se kesyon kontinite a. Kreyonomi te gentan esplike nou sa sa ye. Men m ap fè yon ti rapèl pou moun pa di si yo te konnen.

Kontinite se lè pa gen okenn twou nan fonksyon an, ki vle di ou ta kapab trase koub li a sou yon kaye san ou pa oblije leve men yon kote apre sa pou w kontinye. An jeneral, pou gen kontinite nan yon pwen, fòk limit fonksyon an nan pwen sa (nou sipoze li egziste) egal valè fonksyon an nan pwen sa.

\lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)

Ou vle m montre ou depi m yon kote, kontinite pa ka pa la? An n ale!

An nou di mwen menm f'(x) mwen egziste nan yon pwen x=a. Sa vle di derive a bay yon nonb fiks e nou kapab ekri, dapre definisyon mwen an:

Men ti fraksyon nou wè ki apre limit la, ou kapab remake si mwen miltipliye li pa (x-a) ap rete nimeratè a sèlman e si apre sa mwen ajoute f(a) sou sa ki rete a (nimeratè a), ebyen f(a) yo prale ap rete f(x) sèlman. Kidonk, m ta kapab ekri f(x) konsa:

Alèkile, mwen p ap fache si ou mande m pouki tout vire won sa a. Ebyen pa bliye nan definisyon kontinite a te gen yon limit f(x) ki te egal yon limit f(a). Kounye a si ou gade fòmil nou sot jwenn pou f(x) la ou ap wè agoch gen f(x) adwat gen f(a), ki vle di tout jwè nou bezwen nan egalite ki defini kontinite a yo tout sou teren. Li rete pou nou mete balon nan pye yo, balon sa pa lòt, se operasyon limit la. Si nou aplike limit lè x ap pwoche a pou chak bò ekwasyon ki pi wo a, men sa nou ap jwenn:

Kounye a si adwat la nou fè limit la antre, nou ap jwenn:

Toujou nan bò dwat la, premye limit la nou konnen l, se mwen an pèsòn-derive a-,dezyèm limit la lè nou bay x valè ap L ap égal zewo, epi finalman twazyèm limit la se limit yon konstant (f(a) ) l ap egal konstant lan ankò. Boutanfen,

Dènye espresyon nou ankadre a pwouve fonksyon f la kontini vre nan pwen a a jan nou te anonse sa. Kidonk, ki di yon fonksyon derivab, di fonksyon sa kontini paske depi yon fonksyon pa kontini, derive li pa ka egziste. Men kounye a, kesyon m gen pou ou? Eske sa vle di depi fonksyon an kontini li derivab otomatikman? Pran ti tan reflechi sou sa pandan m ap kite Kreyonomi repran kòn nan.

Derive ak kontinite: yon lanmou a sans inik

Nan matematik, depi ou di tèl sitiyasyon enplike yon lòt sitiyasyon sa pa otomatikman vle di lòt sitiyasyon sa a enplike premye a. « A\Rightarrow B » pa vle di « B\Rightarrow A« . Baze sou premye a pou kouri konkli dezyèm nan se yon fot, yon sofis, yon erè lojik ki pote non afimasyon konsekan an, ki vle di ou fè yon konsekans pase pou yon koz. Bon, nòmalman se pa sèl nan matematik sa (ta dwe) konsa, men sa rive souvan nan rezònman moun ap fè depi ou di A\Rightarrow B moun kouri sipoze B\Rightarrow A tou…Ou vle yon prèv? Chaje nan medya yo ak anba bouch politisyen yo…Bon, men yon egzanp yo konn pran pou montre poukisa se yon erè.

Si yo di w depi lapli tonbe atè a ap mouye, epi kòm ou wè atè a mouye, ou baze sou sa sèlman pou ou konkli lapli te tonbe, ou fè yon fot rezònman paske atè a ki mouye a pa sifi pou ou konkli lapli a te tonbe (gen lòt rezon ki te ka esplike sa). Sa pa vle di sa ou di a pa vre non (sa ka rive lapli te tonbe vre), paske menm yon fo rezònman ka bay bon rezilta (pwofesè k ap korije egzamen konn reyalite sa byen).

Kidonk, pou nou retounen sou koze relasyon ki konekte derivablite ak kontinite a, sèl sa nou pwouve pou kounye a se derivab \Rightarrow kontini, nou pa pwouve kontini \Rightarrow derivab. E nou pa t ap kapab pwouve li nonplis, paske gen egzanp fonksyon ki kontini byen pwòp nan yon pwen epoutan yo pa derivab nan pwen sa a. Bon sa ki pi rèd la (gen moun ki dezòd wi), Karl Weierstrass, yon kokennchenn matematisyen alman, te menm jwenn egzanp yon seri fonksyon ki kontini toupatou, nan tout kò yo, epoutan yo pa derivab okenn kote ditou! Nou ap depoze seri fonksyon sa yo la pou listwa (se yon fonksyon lè ou trase li ki sanble ak yon pil madjigridji kote chak pati se yon madjigridji ankò, tankou yon fraktal):

Yon reprezantasyon fonksyon Weierstrass la Sous: Wikipedia

Mwen mize sou egzanp sa a nonsèlman paske li enteresan men tou paske li montre jan mwen fonksyone. An jeneral, depi koub yon fonksyon gen kote li pwenti (tankou yon V oswa yon \wedge m pa bezwen konnen si fonksyon an kontini, mwen pa annafè ak kote ki gen pwent yo. Derive pa danse kole ak pwent sa yo nan yon fonksyon (dayè gad fonksyon Weierstrass la, se pik sèlman ki fè l, Henri Poincarré te rele fonksyon sa yo mons e li te gen rezon). Sandipetèt, ka ki pi senp fonkson ki gen mòd pwent sa yo se fonksyon valè absoli a,

Fonksyon valè absoli x la          Sous: Wikipedia

Fonksyon sa a kontini toupatou, ni nan 0 kote ki gen pwent lan. Men si nou byen sonje entèpretesayon jewometrik derive a, nou ap wè ozalantou x=0 a menm si mwen ta zoume l zoume l zoume l, m p ap janm jwenn koub la vin sanble ak yon dwat, li ap toujou genyen fòm pwenti a. Se vre gen yon dwat (orizontal) ki touche koub valè absoli a nan yon sèl pwen nan vwazinaj x=0 a, men nou pa ka rele li yon tanjant paske dwat sa a pa fòme yon ang ki egal 0 avèk koub la, koub la pa konfonn ak li nan vwazinaj x=0 a. Kidonk li pa ban nou okenn enfòmasyon sou konpòtman koub la nan vwazinaj pwen sa a, an reyalite se jis kwaze yo kwaze, men yonn pa konn lòt. Kidonk derive a pa egziste nan zòn ki pwenti a. An jeneral, gen 2 kategori zòn pwenti sou yon koub yo konn distenge, nan tou 2 ka sa yo derive a p ap egziste. An nou dekouvri yo.

Yon ang ki mennen nan chimen pwennfèpa

Anvan mwen prezante yo, m ap raple derive se yon limit li ye, tankou tout limit ou kapab idantifye yon limit adwat ak yon limit agoch. Pou chak limit yon sèl bò sa yo ou ap jwenn yon rezilta ki kapab menm oswa diferan. Yonn kapab egal enfini oswa yon nonb fiks. Si li bay yon nonb fiks, nonb fiks sa a se pant yon tanjant li ye, men kòm se sou yon sèl bò nou ap travay yo pa rele dwat la tanjant, yo rele l demitanjant pito.

Nòmalman, pou limit global la egziste, fòk tou 2 limit yon sèl bò yo egziste (egal yon nonb fiks) e fòk yo egal. Egal la vle di tou, tou 2 demitanjant yo ap menm, yonn ap konfonn ak lòt e ang yo fòme ansanm nan ap egal zewo. Se lè sa a nou kapab di derive a egziste nan pwen sa a. Ebyen an nou gade kisa ki pase tout bon lè nou gen yon zòn ki pwenti nan koub yon fonksyon. Nan desen ki pi ba a (se sou nèt la mwen pran l wi, tanpri souple, se pa mwen ki fè l…), nou kapab wè kote ki gen pwent lan kote 2 demitanjant yo (ble a ak vèt la) fòme yon ang olye yo konfonn, kidonk derive a pa egziste la (tankou nan ka valè absoli a).

An jeneral, nou ap distenge 2 tip zòn pwenti nan yon koub: pwen ang yo ak pwen rebwousman yo (souvan, n ap rele yo pito pwen pwennfèpa oswa pwennfèpa senpman).

No comment.

Pwen ang yo ou jwenn yo lè 2 demitanjant yo egziste men yo diferan (lè konsa yo fòme yon ang) oubyen lè se yon sèl ki egziste. Pwennfèpa yo menm, yo pa mennen ou nan okenn demitanjant (pant yo enfini), se tankou yon enpas, e lè ou ap soti ladan yo ou gen enpresyon ou pran direksyon opoze ak direksyon ou te pran lè ou t ap rantre a (se tankou ou te kase tèt tounen). Pou nou pi presi, ou gen yon pwen rebwousman oswa pwennfèpa se lè derive agoch la ak derive adwat la yonn bay plis enfini lòt la bay mwens enfini nan pwen an.

Pou egzanp pwen ang yo, nou te wè valè absoli a ak egzanp yon pwen nan yon koub kote gen yon ang ki fòme nan pwen sa a ant 2 demitanjant diferan. Pou egzanp pwen pwennfèpa yo, nou kapab jwenn kèk nan reyalite a. Yonn nou renmen anpil se egzanp kadyoyid la (yo rele li konsa paske li gen yon fòm kè). Nou kapab kreye li tou ak 2 sentant kòb pandan yonn ap woule sou lòt la oswa gras ak yon efè optik (yo rele fòm sa yo kostik) nan yon tas oswa nenpòt veso won tankou yon ti chodyè (gade dezyèm imaj la). Nou gen pou nou ajoute yon foto nou fè apati eksperyans pa nou, ret branche.

Lojik konstriksyon yon kadyoyid. Sous: Wikipedia

Yon kadyoyid nan reyalite a. Sous : StackExchange

Sa w panse si ou siprann yon zanmi w, mennaj ou oswa mari ou/madanm ou ak yon sikloyid pandan ou ap ofri li yon tas kafe? Anka pa ka se ta ti boubout la, ou pa janm konnen, li ka twouve w jènjan tankou Edward Nygma nan Gotham. 😉

Fen yon kòmansman

Bon nou fin antre nan nannan derive a, nan yon pwochen biyè ki ap dezyèm pati biyè sa a, nou pral wè lòt aspè ak kèk pwolonjman nosyon an (kalkil sou derive yo, derive pi wo degré yo, derive plizyè varyab, derivasyon vektoryèl, derivasyon konplèks, elt.).

Annapre nou ap gen pou nou dekouvri  dividal aplikasyon zouti sa a nan plizyè domèn (espesyalman nan ekonomi) ansanm ak richès nosyon sa a. Rete branche. Kite yon kòmantè pou nou si ou gen yon ti tan.

Limit : yon istwa lajan sere (2/2)

Limit yo se nannan Analiz matematik la, paske yo parèt nan definisyon ni derive yo ni entegral yo. Nan atik sa a nou pral wè sa yo ye, kòman yo fonksyone epi ki mak fabrik yo. Anvan sa, n ap fè yon diskite sou istwa konsèp sa a pou nou ka byen chita kontèks la.

Kontèks

Genyen nan algoritm ansyen grèk yo, espesyalman pa Héron d’Alexandrie a pou jwenn rasin kare yon nonb (metòd babilonyen an), pa Archimède la pou jwenn valè pi, ki chita sou lide sa: tank ou ap vanse nan kalkil la, se tank ou ap pwoche yon rezilta fiks.

Genyen Pierre Fermat tou ki t apral menm fè operasyon aritmetik sou yon nonb ki pre pre pre zewo san li pa janm  egal zewo (yon kantite enfinitezimal). Newton ak Leibniz te fè ti eseye tou, men se matematisyen Augustin Cauchy ki pral premye sèvi ak yon definisyon strik nosyon limit la san li pa fòmile l tankou yon definisyon. An reyalite se Bolzano avèk Weistrass ki t apral pwopoze premye definisyon fòmèl e jeneral pou nosyon limit la. Sepandan, apwòch nonb enfini ak nonb enfinitezimal la toujou enteresan e nan 20yèm syèk la (apati ane 60 yo) gen yon branch nan matematik la ki devlope, analiz non-estanda, ki tabli baz fòmèl (nonb sireyèl ak ipèreyèl yo) pou etidye nonb sa yo.

Yon premye definisyon ki chita sou bon sans

An nou pran yon bèl ti egzanp nou jwenn nan woman LE THÉORÈME DU PERROQUET a (se Denis Guedj ki ekri l).

Imajine ou pa t menm sou sere kòb ou labank. Men kounye a nan kad yon piblisite, ou aprann Bank Tibwatsekrè, pou li ka ankouraje moun ouvè yon kont lakay li, deside bay yon enterè konpoze 100% depi yon moun depoze 1 Goud pou louvri yon kont. Lojik enterè konpoze a se: chak tan yon peryòd rive, y ap aplike enterè a ni sou manman lajan okòmansman an ni sou enterè ou te rive sanble pandan peryòd anvan yo. Tankou la, an nou di manman lajan an se M (an nou di M=100 Goud) epi an nou sipoze se chak ennan yo ajoute enterè yo pou ou (E=t%*M, kote t se to enterè a: an nou di to a se 1%, kifè E ap egal 1 Goud apre ennan). Apre ennan, ou rive sanble M+E=100+1=101 Goud. Lojik enterè konpoze a mande pou nan fen dezyèm ane se 101 Goud la y ap pran pou nouvo manman lajan an, li p ap 100 Goud ankò, kifè enterè pral ajoute ni sou premye manman lajan an ni sou enterè ou te rive sanble anvan an. Bèl afè, sa ou di!

Li sanble klè, nan yon lojik konsa, plis peryòd la kout (an nou di olye li chak ennan, li te chak 6 mwa pito), manman lajan an ap gwosi pi vit paske yo ap ajoute enterè yo pi souvan. Kounye a, sèl kesyon ou ap poze tèt ou parapò ak « piyay » Bank Tibwatsekrè di l ap bay la, se chak ki peryòd yo ap aplike enterè sa yo! Pandan reklam nan ap fini konsa, ou tande yo di yo pare pou yo negosye nenpòt ki peryòd ki pi kout pase ennan avèk kliyan yo! Ou sezi, ou tou wè yon okazyon pou ou vin rich. An bon entèlijan, ou di ou pral negosye peryòd ki pi piti yon moun te ka imajine a: minit, segonn, 1/10yèm segonn,  ou pa konnen. Toutan ou ka desann pi ba nan negosyasyon an w ap desann pi ba paske konsa ou ap milyonè pi rapid.

Se la ti sè w la Jowàn, ki fò anpil nan matematik, di w poze san w pou w bwè yon mabi 50. Li di w menm si ou ta rive negosye peryòd ki pi zuit posib la, ou p ap janm milyonè. An reyalite, menm apre yon pil tan pase, ou ap sèlman anviwon 2,718 fwa pi rich! Kòm se yon Goud ou t apral plase labank lan, menm lè ou ta deside kite l travay jiskaske ou ti granmoun, ou p ap menm rive sanble 3 goud: kòb ou a p ap janm depase 2,719 Goud. Ou di sa k ap pase konsa, ou pa vle kwè, ou mande l kote li bare ak sa li di a. Epoutan, ti sè w la gen rezon.

Se vre kòb ou a ap ogmante anmezi peryòd la ap pi kout, men ogmantasyon sa a ap diminye ofiramezi tou. An nou pran egzanp sa ki pase tank ou ap redui peryòd la pi ba pase ennan. Apre ennan, kòm to enterè a se t=100%, 1 Goud ou a t ap rapòte w 1 Goud enterè. Lè sa a, nouvo manman lajan an t ap 2 goud. Men si peryòd la se 6 mwa, sa vle di mwatye ennan, se tankou to enterè 100% an te divize an 2. Kidonk, apre premye 6 mwa a, ou t ap fè: M+E1=1 Goud+ 50%1 Goud=1,5 Goud. Kòm 1,5 Goud sa se li kounye a ki nouvo manman lajan an, apre dezyèm 6 mwa a ou t ap sanble: M1+E2=1,5 Goud+ 50%1,5 Goud=2,25 Goud! Li klè, apre ennan, si peryòd la se 6 mwa, ou rive fè plis kòb (2,25 Goud), pase kantite kòb ou t ap fè si peryòd la te ennan (2 Goud).

Men gade sa ki  t ap pase si, olye peryòd la se chak 6 mwa, li te chak 3 mwa pito. Kòm genyen  4 trimès nan yon ane, enterè 100% an t ap divize pa 4 e enterè a t ap aplike 4 fwa. Finalman, manman lajan an t ap vin egal 2,44 Goud apre ennan, ki toujou pi wo pase sa nou te jwenn lè peryòd la te ennan an. Li pi gwo tou pase sa nou te jwenn lè peryòd la te 6 mwa a. Men sa nou remake, pandan peryòd 6 mwa a te fè nou soti nan 2 goud al nan 2,25 peryòd 3 mwa a pa pwovoke yon pi gwo ogmantasyon pase sa. Si nou te fè l chak mwa, nou t ap jwenn manman lajan an vin egal 2,61 apre ennan; si nou te fè l chak jou, manman lajan an t ap vin 2,71 elt. Kidonk, plede redui peryòd la, se vre li fè manman lajan an vin plis achak fwa, men tank ou ap redui peryòd la se tank diplis la ap vin pi piti.

Matematisyen yo rive montre si ou ta kontinye redui peryòd la nètale, alafen gen yon nonb fiks ou t ap rive sou li ou t ap bloke, kòb la pa t ap ogmante ankò. Nan egzanp nou an, nonb sa a yo rele li nonb Euler a, li se: [e]= 2,71828182845904… (kantite chif ki apre vigil la enfini). Kidonk, ti sè w la te gen rezon: pi bon negosyasyon ou ka fè ak Bank lan t ap sèlman fè w vin « e » fwa pi rich!

Fòmil jeneral pou kalkile valè manman lajan an Mk apre k peryòd anndan yon ane se

Alèkile, nou sot wè si M=1 Goud epi t=100%, menm si  k (kantite peryòd la) ta vin enfini, Mk (manman lajan final la) p ap janm depase [e] (nonb Euler a). Yon fason senp matematisyen yo konn ekri sa se :

lim nan vle di Mk, manman lajan an, ap vin sitèlman pre chif yo rele [e] a, ou ta ka di yo egal menm si yo pa ta egal vre, lè kantite peryòd la (k) vin anpil anpil anpil.

An jeneral, pou nenpòt ki fonksyon, nou ka aplike lide limit sa a. Se konsa

vle di nenpòt jan ou ta vle f vin toupre L, sa ap posib, anmezi x ap pwoche a. Yo li l konsa : « limit f de x lè x ap pwoche a egal L. »

Gen 2 fason [x] la ka pwoche [a], swa li ap soti nan valè ki pi piti pase [a] yo pou l al jwenn li (lè konsa yo di li ap pwoche [a] agoch) swa li ap soti nan valè ki pi gwo pase [a] yo (lè konsa yo di li ap pwoche [a] adwat). Lè li ap pwoche [a] agoch, rezilta nou jwenn pou limit lan yo rele li limit agoch, menm jan an tou pou bò dwat la rezilta a ap rele limit adwat. Si nou annik di limit yon fonksyon egal L san nou pa presize, sa vle di rezilta a pa chanje kit se sou bò dwat kit se sou bò goch.

Men definisyon sa a, ki chita sou bon sans, li yon ti jan vag lè ou byen gade. Gen kèk espresyon li itilize ki yon ti jan flou, tankou kesyon « ap pwoche » a. Kisa sa vle di menm? Eske sa ki ap pwoche yo oblije vin egal pou sa?  Lè nou di limit f egal [L] la, sa nou vle di egzakteman? Se poutèt sa, Cauchy, Bolzano ak Weistrass te vin sèvi ak yon definisyon ki pi presi ki pèmèt nou evite konfizyon sa yo.

Yon definisyon ki pi presi

Gen yon fason ki pi presi nou kapab defini limit yon fonksyon. Anvan nou prezante l, n ap sonje kisa valè absoli ye. Si 0 se referans nou sou yon aks, valè absoli yon nonb reprezante distans ki separe li parapò ak orijin nan ki se 0, kit nonb lan pozitif kit li negatif. Kidonk, si nou di

sa vle di distans ki separe [x] ak orijin nan pi piti pase 3, egzanp, [x] kapab -2,5 oswa 2,9 sa p ap pwoblèm. Men [x] pa kapab -3,2 oswa 3,9 oubyen nenpòt lòt chif ki pi piti pase -3 oubyen ki pi gwo pase 3. Yon lòt bò, si (x-3) se eka ki genyen ant [x] ak 3 (eka sa a kapab pozitif li kapab negatif), lè sa a

se distans ki separe [x] parapò ak 3 e li toujou pozitif. Lè nou di |x-3|<d, sa vle di x ka nenpòt kote agoch oswa adwat 3 depi distans ki separe yo a pi piti pase [d] (pi ba a nou rele distans sa a « delta » pito). Se tankou nou te kreye yon ankadreman pou [x], e an jeneral

Nan menm lojik la :

Sa vle di, distans ki separe f ak [L] toujou pi piti pase epsilòn (oswa [e], pou pi senp) epi pou respekte distans sa a li sifi pou pran f nan entèval ki soti nan (L-[e]) a pou ale nan (L+[e]) a. Li klè, toutotan  [e] piti, se plis f ap pre L. Kidonk nou jwenn yon fason pou nou note lide « f ap pwoche [L] » la ansanm ak lide « [x] ap pwoche [a] a ». Sonje lè nou te di [x] ap pwoche [a] a nou pa t santi li te oblije egal [a] pou tandans limit la parèt tèt li, kidonk |x-a| mèt pi gwo pase zewo. Nan menm lojik la, nou pa bezwen pou f egal [L] pou nou santi tandans limit la. Kounye a nou gen zouti pou nou defini limit la.

Sonje kisa nou ap chèche eksprime : si nou di limit yon fonksyon f bay [L] lè [x] ap pwoche [a], se tankou nou bay garanti kèlkelanswa ti distans yon moun ta ka imajine ki separe f avèk [L], nou ap ka toujou jwenn yon seri valè [x] ki pa lwen [a] ki pèmèt f pran valè nou di ki toupre [L] yo. Si nou pa ka jwenn seri valè sa yo pou [x] (sa vle di yon entèval pou [x] ozalantou [a]), ebyen nou pa ka di limit f egal [L]. Tout sa nou sot di la yo nou ka ekri li pi senp ak operasyon valè absoli a :

Sa ka parèt yon ti jan abstrè, men se egzakteman sa nou te esplike anvan an nou ekri la…Verifye pou w wè.

An jeneral, se ak definisyon sa a yo sèvi pou demontre teyorèm nou prezante pi ba yo, ki ban nou yon seri operasyon nou kapab fè sou limit yo (adisyon, miltiplikasyon, divizyon,…). Yo itil anpil pou kalkile limit yo.

Yon lòt avantaj definisyon sa genyen, li tou fè nou wè limit yon fonksyon pa oblije egziste. Kòmdefèt, si nou pa ka jwenn yon valè pou delta ki garanti f ap toupre L, limit lan pa egziste. San nou pa antre nan detay, genyen 2 gwo fason yon limit kapab pa egziste: 1)omwen yonn nan limit adwat oswa agoch yo pa egziste 2)limit agoch ak limit adwat egziste men yo pa egal. « Pa egziste » ka vle di anpil bagay men yonn nan ka ki konn enteresan se lè vale nou jwenn pou L la an reyalite li enfini (ki vle di, nou pa jwenn okenn valè fiks vre).

Teyorèm sou kalkil limit yo

Teyorèm limit yo senp. Nou pral eksprime yo an pawòl pito olye nou sèvi ak fòmil.

  1. Adisyon: Limit adisyon 2 fonksyon se menm ak adisyon limit chak fonksyon sa yo.
  2. Konstant: Limit yon konstant egal konstant lan ankò.
  3. Miltiplikasyon: Limit miltiplikasyon 2 fonksyon egal miltiplikasyon limit chak fonksyon yo.
  4. Divizyon: Limit yon divizyon de fonksyon egal divizyon limit chak fonksyon sa yo, depi rapò final la gen sans (depi denominatè a pa egal zewo).
  5. Radikal: Limit rasin n-yèm yon fonksyon egal rasin n-yèm limit fonksyon an, depi sa gen sans.

Lenfini

Gen 3 ka nou kapab distenge.

  1. Swa fonksyon an ap pwoche yon nonb fiks (L) pandan x ap pwoche enfini: lè konsa yo konn di [y]=[L] sa a se yon asentòt orizontal.
  2. Swa fonksyon an pike al jwenn lenfini pandan x ap pwoche yon nonb fiks (a): lè konsa yo konn di [x]=[a] se yon asentòt vètikal
  3. Swa ni f ni x ap pwoche lenfini.

Limit ak kontinite

Gen anpil bagay nou ta ka di sou kontinite a, men n ap konsantre nou sou kèk pwen enpòtan sèlman, Kontinite a gen pou wè ak lide kòmkwa ou ta kapab trase yon koub alamen san ou pa oblije leve plim nan oswa kreyon an sou kaye a. Sa vle di koub fonksyon an pa gen twou ladan. Gen yon lyen sere sere ant limit ak kontinite. Pou yon fonksyon kontini nan yon pwen genyen 3 kondisyon li dwe ranpli:

  1. fòk fonksyon an egziste nan pwen sa
  2. fòk limit fonksyon an egziste nan pwen sa
  3. fòk limit fonksyon an nan pwen sa bay menm rezilta ak valè fonksyon an nan pwen an.

Lojik ki dèyè twazyèm kondisyon an senp: si limit lan pa egal valè fonksyon an nan pwen an, sa vle di f pran yon seri valè ki toupre limit la, men li pa janm ka konfonn ak limit la. Ofinal, sa kreye yon twou, ki ap fè ou oblije leve men ou lè ou rive sou valè limit la paske valè limit sa a li pa gen anyen pou wè ak valè fonksyon an nan pwen sa.

Tout nosyon sa yo itil anpil. Nan sèl biyè sa a, nou kouvri yon pil koze. Se vre kalkil limit yo gen yon bann difikilte nou pa dekri, men lè n ap gen pou nou prezante derive yo, n ap sezi wè jan yo ede nou kalkile yon seri limit byen fasil, espesyalman gras ak règ l’Hospital la.

Rete branche. Twazyèm biyè nou an ap prezante nosyon derive a, kote nou pral fè nosyon pant lan fè konekrèm ak nosyon limit la.

Kwazman pant ak limit [1/2]

Branch yo rele Analiz matematik la chita sou 3 gwo zouti: limit, derive ak entegral. Bon, nou te ka menm di li chita sou limit sèlman, paske jan nou ap gen pou nou wè sa ni derive ni entegral se limit yo ye tou.

Kontèks

Se Isaac Newton ak Gottfried Wilhelm Leibniz ki fonde branch sila a, blòk 17yèm syèk yo. Yonn nan rezònman branch sa a rann popilè se lojik kalkil sou entèval zuilit zuilit yo (kalkil enfinitezimal). Alòs depi tan lontan, tankou depi sou Archimède yo, moun te konn sèvi ak rezònman sa, men se apati Newton epi Leibniz fondasyon branch sa a poze epi yo kòmanse sèvi avè l nan tout sòs. Gen fanm tou, avan oswa apre Newton ki pote kontribisyon yo, men malerezman listwa pa brake ase pwojektè sou kontribisyon sa yo.

Antouka, jodi a fizik, biyoloji, chimi, ekonomi , elt. sèvi anpil ak zouti Analiz yo, sitou sa yo rele derive a. Si ou konprann sa derive a ye, ou ka di ou konprann yon nan toujou nan nannan branch yo rele Analiz matematik la. Nan seri 3 biyè blòg sa yo, nou pral esplike sa derive a ye ak poukisa li enpòtan. Nan biyè sa n ap konsantre sou nosyon « pant » lan, apre sa nan lòt la n ap gade nosyon limit la, boutofen nan twazyèm biyè a n ap prezante sa ki derive a.

Pant yon dwat

Nou tout konn sa yon pant ye. Yonn nan imaj ki ka kouri monte nan tèt nou se yon mòn yon moun ap eseye monte. Gen mòn ki pi rèd pase lòt: genyen ki prèske plat, gen lòt ki pike monte. Plis mòn nan « panche », se plis pant lan dous, plis li kanpe se plis pant lan rèd. Men pant lan, nan matematik, se pa sèl enfòmasyon sa li ban nou. An nou reprann egzanp mòn nan. Imajine ou fin monte mòn nan, epi lè w rive sou tèt li w ap pare pou w al desann sou lòt bò mòn nan. Bò pou desann mòn nan gen yon pant tou, men gen yon gwo diferans ant monte a ak desann nan.

Kit se moman w ap monte a, kit se moman w ap desann nan, direksyon kote ou prale a pa chanje. Alòs kisa ki chanje? Enbyen, lè ou t ap monte a, chak pa ou fè nan direksyon kote w prale a te voye w pi wo (altitid ou te ogmante). Men lè w rive sou lòt bò mòn nan, chak pa ou fè nan menm direksyon an, se pi ba li voye w (altitid ou ap bese). Poutèt sa, nou kapab di monte a te gen yon pant pozitif, desann nan te gen yon pant negatif. Si gen yon chif ki ka mezire pant lan, gen 2 enfòmasyon li ta dwe ban nou: 1) nivo panche liy n ap suiv la panche (pant dous oswa pant rèd), epitou 2) nan ki sans liy nan panche (monte oswa desann).

Matematisyen yo gen yon jan yo reprezante epi senplifye tout sa nou sot di yo. Imajine liy dwat nou pral etidye a se yon bò mòn nan. Lè m kòmanse monte mòn nan, gen 2 bagay ki pran chanje an menm tan: wotè m parapò ak atè a (altitid mwen) epi distans orizontal ki separe mwen ak anba mòn nan (ki vle di, mwen nonsèlman pral pi wo, men mwen pral pi devan tou.

Nan yon repè katezyen, altitid la m ka reprezante l ak yon [y] epi deplasman orizontal mwen parapò ak kote m demare a m ka reprezante l ak yon [x] (gade desen pi ba a). Si pandan m ap monte mòn nan, mwen fè yon premye ti kanpe akoz fatig, ti monte m sot fè a gentan chanje pozisyon [y] mwen an, ki soti nan [Y0] pou ale nan [Y1]. Varyasyon an se (Y1-Y0). Menm jan an tou, pozisyon [x] mwen an chanje. Mwen soti nan [X0] pou m ale nan [X1]. Varyasyon an se (X1-X0). Kounye a nou ap chèche yon mezi pou nosyon « pant » lan, e nou te wè mezi sa a ta dwe ban nou 2 enfòmasyon pou pi piti: sans chanjman [y] la parapò ak sans chanjman [x] la epi gwosè pant lan. Yon mezi matematik ki rive rasanble tou de enfòmasyon sa yo se: m=(Y1-Y0)/(X1-X0), sa vle di varyasyon nan [y] divize pa varyasyon nan [x]. Se rezilta divizyon sa a matematisyen yo rele pant yon dwat.

An nou pran liy [x] la ak liy [y] la nou fè yo fòme yon triyang, tankou nan desen pi wo a. Triyang sa ap yon triyang rektang kanmèm e si nou sonje trigonometri nou, tanjant ang liy dwat mwen an fòme avèk aks ki gen [x] yo, li egal longè kote ki anfas ang lan (ki se egzakteman varyasyon [y] la, [Y1-Y0]) divize pa longè kote orizontal la, [X1-X0]. Kidonk, sa nou rele pant dwat la, se menm li menm ki tanjant ang ant liy n ap etidye a epi aks ki gen [x] yo sou li a. Yonn nan konsekans sa genyen, li montre montre pant lan p ap chanje menm si nou agrandi triyang lan, paske ang lan p ap chanje, kidonk tanjant ang lan p ap chanje nonplis. Vrèmanvre, nan menm egzanp mòn lan, si liy n ap monte a dwat, monte pi wo nan mòn nan se pa sa k ap fè pant lan ni pi dous ni pi rèd. Pant yon dwat pa chanje. Sa gen anpil konsekans enteresan. An nou fè yon bilan sou sa nou konprann.

Yon bilan

Nan biyè nou te ekri sou fonksyon yo, nou te wè fonksyon yo gen yon jan yo sanble tout enfòmasyon sou koneksyon ki genyen nan mitan plizyè varyab. Sa enteresan anpil paske nan lasyans nou toujou ap chèche konprann relasyon ki genyen ant plizyè varyab ak fenomèn. Fonksyon ki pi senp nou te idantifye se fonksyon liy nan, ki ba ou yon liy dwat lè trase l. Kounye a nou sot wè yon premye enfòmasyon kle fonksyon sa a ka revele nou sou relasyon 2 varyab yo se nosyon pant lan. Pant lan di nou jis nan ki pwen chanjman yon varyab afekte lòt varyab la e nan ki sans li fè sa. Si pant yon dwat y=f(x) egal 2, sa vle si gen yon inite ki ajoute sou [x], ebyen se 2 inite ki ap ajoute sou [y]. Alèkile nou sot aprann, pant yon liy dwat pa janm chanje, kidonk sou nenpòt ki entèval (ant 2 pwen) ou mezire l, ou ap toujou jwenn menm rezilta a.

Men, pant yon dwat pa chanje vle di tou, si pant lan ta chanje, konnen se pa ak yon dwat ou te annafè. Kidonk nosyon pant nou an manke jeneral, paske li esklav liy dwat yo e nan reyalite a pa toujou gen liy dwat: konn gen monte desann nan fonksyon nou ap etidye yo ak tout kalte mouvman yon liy dwat pa ka dekri. Nan ka sa yo, rezilta nou ap jwenn pou pant lan ap depann de entèval nou chwazi yo. Pwochen zouti nou pral gade plis an detay e ki ap pèmèt nou atake ka ki pi konplike sa yo, se nosyon limit lan. Se li ki pral pèmèt nou ramne kesyon derive a ak yon senp kesyon pant yon liy dwat.

Nan pwochen biyè a, se sa nou pral fè.

 

Monte desann nan fonksyon matematik yo

Nan atik bèlantre sou fonksyon matematik yo, nou te wè sa yon fonksyon ye. Nan ti atik tou kout sa, nou pral fè yon premye kontak ak yonn nan mak fabrik yon fonksyon y=f(x) ka genyen : grandisman l. Sa ap prepare nou pou koze pant ak derive yo nan yon pwochen atik.

Yon premye apèsi sou grandisman fonksyon yo

Yonn nan itilite fonksyon yo, yo pèmèt nou fè prediksyon. Depi ou konn [x] ou tou konn [y]. Men pafwa se pa tèlman chif egzat yo n ap chèche, nou konn bezwen konprann relasyon an nan li menm. Tankou nou ka anvi konnen, an jeneral lè nou ogmante [x], èske [y] ap ogmante tou? Se konsa yon antrepriz ka anvi konnen, èske si li anplwaye yon nouvo travayè, benefis li p ap bese. Kèk fwa tou, sans lan konn chanje oubyen menm ap plede chanje, anmezi [x] ap ogmante. Tankou yon peyizan ki ap mete angrè nan jaden l, nan kòmansman toutan li mete plis angrè se plis l ap jwenn rannman men gen yon kantite angrè depi l depase l rannman l ap kòmanse bese kareman, si l pa fè lòt chanjman. Si anmezi [x] ap monte, [y] pa janm sispann monte, yo di fonksyon f la kwasan. Si valè [y] pran yo pa sispann desann anmezi [x] ap monte, yo di f dekwasan. Mo sa yo sèvi pou dekri grandisman fonksyon an. Fonksyon ki swa kwasan osnon dekwasan yo, pote non fonksyon monotòn. Men, egzanp peyizan an te gentan fè nou wè se pa tout fonksyon ki monotòn.

 Jan nou te di sa a, anmezi [x] ap monte, gen fonksyon kote [y] ka fin monte epi rive yon kote li pran desann malgre [x] kontinye monte, visvèsa. Fonksyon sa yo pa ni kwasan ni dekwasan. Pandan [x] ap monte a, si gen yon pwen kote [y] kòmanse desann (oswa monte) apre li fin monte (oswa desann), yo rele pwen sa yon maksimòm (oswa minimòm). Maksimòm ak minimòm, tou de pote non estremòm tou. Yon fonksyon kapab genyen plizyè estremòm, yo kapab plizyè minimòm ak plizyè maksimòm. Li klè valè [y] pran nan maksimòm yon fonksyon ap toujou pi piti pase valè [y] ki nan « vwazinaj » maksimòm sa a. Lè konsa yo di se yon minimòm lokal. Men yon fason senp senp nou ka « wè » ak de nawè nou sa maksimòm nan ye. Voye yon ti boul tenis anlè ak men w. L ap monte monte monte al nan direksyon syèl la, men rive yon kote l ap chanje direksyon bridsoukou pou l kòmanse desann. Pwen kote li chanje direksyon an, se yon maksimòm.

Boy Playing Tennis Clipart

Men sa ka rive, lè nou fin jwenn yon maksimòm, pi devan nou kontre yon lòt maksimòm ki pi wo pase l toujou, maksimòm sa tou kapab gen yon lòt maksimòm ki pi wo pase l. Gen yon ti pwovèb ki ede nou konprann sa pi byen toujou: « dèyè mòn gen mòn« . Si gen yon maksimòm kote [y] pi piti pase nenpòt lòt valè [y] ta ka pran, yo rele maksimòm sa a yon maksimòm global. Nan egzanp mòn nan, tèt mòn ki pi wo a nan yon chenn, se li ki t ap jwe wòl maksimòm global la. Yon maksimòm global se yon maksimòm lokal, men yon maksimòm lokal gendwa pa global. Se menm lojik la pou minimòm yo, ki kapab lokal oubyen global swivan si se nan vwazinaj yo sèlman valè [y] la pi piti ak si li pi piti pase nenpòt lòt vale [y] ta ka pran.

la selle
Dèyè mòn gen mòn (Vilaj Jeantilhome, Mòn Lasèl)               Sous: ClimbingForChrist

Pwen estremòm yo enpòtan anpil, paske yo di nou pafwa ki pi bon objektif nou ka vize pou yon fonksyon (tankou ki pi gwo pwofi oswa pi piti depans yon antrepriz ka vize) nan yon ti entèval oswa an jeneral. Demach chèche estremòm nan (kèk fwa sa blije fèt anba yon seri kondisyon ak pinga), li pote non optimizasyon. Nou gen pou nou fè analiz pi pwofonde sou zafè optimizasyon sa a nan yon lòt atik kote nou ap pwofite vin ak yon seri lòt nosyon enpòtan (tankou nosyon konkavite ak konveksite fonksyon yo, nan topoloji). Rete branche.

Bèlantre nan fonksyon matematik yo

FONKSYON : YON NOSYON KI SOTI LWEN

Tablèt babilonyen
Yon tablèt ki pèmèt ou jwenn envès yon seri nonb, nan sans Babilonyen yo (Par M0tty — Travail personnel, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=27862093)

Lide « fonksyon » an sanse parèt nan tout sòs nan matematik la. Si se vre depi sou tan Babilonyen yo (2000 avan Jezikri), moun ap eseye tabli koneksyon ant divès kategori nonb, koneksyon sa yo pa t twò enterese matematisyen yo tankou yon sijè etid poukont yo. Se menm konsta a nou fè lè nou rive sou Grèk yo, mwens pase 10 syèk avan Jezikri, sitou kanmarad Pythagore (Pitagò) yo nan domèn mizik, ak matematisyen Alexandrie yo (Aleksandri) nan sa ki gen pou wè ak trigonometri epi astwonomi. Lide « fonksyon » an te gentan la anba anba, men yo pa t ko janm etidye l poukont li.

Soti 13yèm al 14yèm syèk apre Jezikri, travay rechèch nan domèn fizik, sitou sinematik ki se yon branch ki ap etidye mouvman, pèmèt yo dekouvri yon bann relasyon ki konekte vitès, tan, elt. Men tout lè sa yo, fòk nou di, relasyon sa yo se te swa sou fòm fraz (ki pafwa disèt longè), swa sou fòm tablo osnon sou ang jewometri kesyon an senpman. Fòmil pa te ko alamòd.

Se Viète François (Vyèt Franswa), nan 16yèm syèk la, ki vin rann fòmil matematik yo alamòd pou dekri pwoblèm yo ak solisyon yo yon fason ki jeneral. Dayè, se annapre sa, Galilée (Galile) ak Kepler t apral pwopoze yon seri bèl fòmil nan domèn fizik.

17yèm syèk, Descartes (Dekat) tabli yon relasyon klè kou dlo kokoye nan mitan koub ki nan yon espas kwadriye espesyal yo rele plan katezyen ak fòmil polinom yo. Koneksyon sa te tabli finalmanvre dènye pon ki ta pral pèmèt yo trete yon seri pwoblèm gras ak fòmil sèlman (aljèb), san yo pa blije esklav jewometri.

Apre sa matematisyen yo tonbe fè yon bann bèl dekouvèt sou fonksyon yo (gras ak fòmil yo), menm si mo « fonksyon » an poukont pa li pa t ko sèvi. Se jis an 1673 mo a premye parèt tèt li anba kout plim Leibniz, men definisyon l lan rete jewometrik toujou. Pa Bernouilli a annapre pi laj, li di fonksyon yon kantite vayab se tout kantite ou rive konstwi apati varyab sa a. Men tout lè sa a, te gen yon kategori fonksyon, tankou logarit yo, ou pa t ka konstwi avèk senp operasyon aljebrik sou polinom yo (adisyon, miltiplikasyon, divizyon, soustraksyon, rasin). Pi ta, 18yèm syèk, sa pral pouse Euler klase tout fonksyon yo nan 2 kategori : fonksyon aljebrik yo (ki sèvi ak 5 operasyon aljebrik yo pou defini tèt yo) epi fonksyon transandan yo (fonksyon trigonometrik yo, logarit yo, elt. ki pa ka konstwi senpman ak operasyon aljebrik yo, pafwa operasyon sa yo oblije plede repete san kanpe).

Sèl bagay, ann apre yo vin dekouvri klasifikasyon ki baze sou operasyon aljebrik yo Euler te pwopoze a, manke jeneral. Ki fè, apre travay matematisyen tankou Cauchy (Kotchi), Dirichlet (Dirichlè), Riemann (Rimann), nou ka finalman di fonksyon an se nenpòt ki relasyon ki makonnen 2 ansanm nonb. Men pou dokiman sa, nou p ap bezwen nivo jeneralite sa a, n ap konsantre nou sou konsepsyon tradisyonèl fonksyon yo apati nosyon operasyon aljebrik la epi lide 2 ansanm nonb ki konekte yonn ak lòt gras ak fonksyon an.

YON APWOCH SENP SENP NOSYON FONKSYON AN

Yon egzanp senp nou ka pran pou esplike nosyon fonksyon an, se relasyon ki genyen nan mitan kòb yon pasaje peye yon chofè ak monnen chofè a gen pou ba li. Si pri trajè a 15 Goud, monnen chofè a ap remèt la dwe egal ak diplis ki genyen nan kòb pasaje a lonje ba li a. Si pasaje a lonje 15 Goud bay chofè a, monnen an ap zewo bare, si l lonje 20 Goud, monnen an ap 5 Goud, si l lonje 100 Goud, monnen an ap 85 Goud. Boutofen, nou ka wè monnen chofè a ap remèt la li fonksyon kantite kòb pasaje a lonje ba li. Si nou konn konbyen pasaje a bay (an nou rele kantite sa X), enben nou tou konnen konbyen chofè a ap remèt (Y), paske :

Y = X-15

Poutèt Y se yon fonksyon X, yo pran abitid ekri relasyon an sou fòm sa :

Y=f(X)

Kote  se non fonksyon ki makonnen Y ak X la. Nou kapab li l : Y egal f de X. Yo rele kantite nou jwenn pou Y la : imaj X nan f oswa atravè f. Mo imaj la enteresan, li fè nou wè fonksyon an tankou yon kamera osnon yon glas ki ap reflete imaj yon objè, menm si imaj sa konn depaman ak objè a (nan matematik nou rele objè a « antesedan »).

Pou nou retounen nan egzanp pasaje a, si nou suiv byen, nou ap wè yon fwa nou konnen konbyen pasaje a peye (X), se yon sèl kantite ki posib pou chofè a ba li pou monnen. Si pasaje a peye 20 Goud, chofè a p ap ba li lòt monnen pase 5 goud li bay anplis 15 Goud ki se pri trajè a. Kidonk, fonksyon « remèt monnen an », nan egzanp nou an, pou chak antesedan (X) p ap bay plis pase yon imaj (Y). Mak frabrik mòd fonksyon sa yo ki pa janm bay plis pase yon imaj yo, li pote non « inivosite[1] » (yonsèlvwa). Lè konsa, yo di fonksyon an inivòk (yonsèlvwa), sa vle di pou chak antansedan ou pote pou li, li p ap remèt ou plis pase yon grenn imaj. Se tankou ou te di fonksyon an pa gen de mo, se yon sèl mo li genyen. Se pa tout fonksyon ki yonsèlvwa. Men an jeneral, depi yo di fonksyon, lide sa a tou parèt anba anba. Kanta pou fonksyon ki pa yonsèlvwa yo, lè konsa yo di yo « miltivòk » (plizyèvwa). Menm egzanp chofè ak pasaje a ka ede nou la ankò.

Lè pasaje a peye, gen yon sèl kantite kòb chofè a ka remèt li pou monnen, paske fonskyon « remèt monnen » an « yonsèlvwa ». Pa gen de imaj posib. Kidonk depi w konnen konbyen kòb pasaje a te bay, ou tou konnen konbyen chofè a pral remèt. Menm jan an tou si w pran revè sitiyasyon sa a, depi w konn konbyen kòb monnen (Y) chofè a te remèt, ou tou konnen konbyen pasaje a te peye (X=Y+15). Lanvè fonksyon f la yo rele li « resipwòk » fonksyon an (li ekri f^{-1} ). Nan egzanp nou an resipwòk la se :

X=f^{-1}(Y)=Y+15

Men yon fonksyon kapab yonsèlvwa poutan revè l pa sa. Egzanp :

Y=f(X)=X^2 \Rightarrow X=f^{-1}(Y)=\pm(\sqrt{Y})

Kidonk, pou chak X, gen yon sèl Y, men pou chak Y gen de X (yonn pozitif, yonn negatif). Tankou la, \displaystyle{{(3)}^2=9}  sèlman, epoutan genyen de fason ou ka jwenn menm 9 sa a lè w pran resipwòk la, swa ou sèvi ak 3 a osnon ak -3 a (paske  \displaystyle{{(-3)}^2=9} tou). Ki fè la, nou wè yon fonksyon kapab yonsèlvwa epoutan resipwòk li plizyèvwa. Lè konsa, depi sa posib, ou dekonpoze fonksyon plizyèvwa a an plizyè ti fonksyon yonsèlvwa.

Men yon lòt egzanp senp senp ki pote plis limyè sou fonksyon plizyèvwa yo. An nou pran yon klas ki gen plizyè elèv, epi nou defini yon fonksyon ki koresponn chak ane ak laj elèv yo genyen pandan ane sa a. Yon fonksyon kon sa gen anpil chans pou li plizyèvwa, paske nan yon klas, se pa tout elèv yo ki gen menm laj.

Dènye nosyon n ap prezante nan seksyon sa a, se koze « domèn definisyon » an. An nou retounen nan egzanp chofè ak pasaje a.

Li klè fonksyon « remèt monnen » an bezwen de kategori chif pou li fonksyone. Chak kategori sa yo fòme yon ansanm. Gen yon ansanm ki nan antre fonksyon an, nou ap rele l « ansanm demaraj la » (E). Nan egzanp nou an, se kòb pasaje a ap lonje bay chofè a (X). Gen yon lòt ansanm ki nan pa pòt soti fonksyon an, nou ap rele li, « ansanm final la » (F). Nan egzanp lan, se tout monnen posib chofè a ka remèt yon pasaje (Y). Depi kounye a n ap remake, se pa tout kòb pasaje a ka lonje bay chofè a! Pasaje a pa ka bay chofè a mwens pase pri trajè a koute, si se pa sa tranzaksyon an p ap fèt. Poutèt pri trajè a se 15 Goud, pi piti kòb pasaje a ka bay se 15 Goud. Menm si teyorikman pasaje a ta ka lonje nenpòt kòb ki pi wo pase pri trajè a bay chofè a, nou konnen an reyalite kòb li ap lonje a p ap depase 1000 Goud (paske pa gen pi gwo biyè lajan pase sa nan moman tèks sa ap ekri a). Kidonk pou nou senplifye, nou ka di, tout kòb pasaje a ka lonje bay chofè a twouve yo nan limit 15 Goud rive 1000 Goud. Se nan entèval demaraj sa a fonksyon an gen sans, pou tout nonb ki pa nan entèval sa a, fonksyon « remèt monnen » an sanlè pa bay okenn imaj. Poutèt fonksyon an se sou entèval sa li defini, yo rele entèval sa a « domèn definisyon » fonksyon an.

Nosyon domèn definisyon an evite nou tonbe nan yon kafouyay ki konn genyen nan mitan nosyon aplikasyon an ak nosyon fonksyon an. Nou ka tou konprann kote konfizyon sa a konn soti. Pou gen yon aplikasyon, fòk chak eleman nan ansanm demaraj la gen yon sèl grenn imaj, ni mwens ni plis. Epoutan, fonksyon an, nan sans laj li, jis bezwen pou chak eleman nan ansanm demaraj la gen yon sèl imaj pou pi plis, sa vle di li ka genyen mwens (zewo imaj). Kifè, ansanm demaraj la ka pi laj pase ansanm definisyon  an. Sa tou mennen nou nan sans ki pi sentre nosyon fonksyon an konn genyen an, kote chak eleman ansanm demaraj la genyen yon sèl grenn imaj, ni plis ni mwens : lè sa a, li gen menm sans ak nosyon « aplikasyon » an. Men poutèt yo pa toujou presize ansanm demaraj ak ansanm final yo, sa finalman konn lakoz tou de nosyon sa yo nan konpetisyon yonn ak lòt, yo konn sèvi ak tou de nan menm sans.

Finalman yon bon fason nou ka reprezante yon fonksyon ki gen E pou ansanm demaraj epi F pou ansanm final, se :

Tankou fonksyon « remèt monnen » nou te pran pou egzanp lan, nou ka reprezante li konsa[2] :

Kounye a, nou pare pou nou dekòtike nosyon fonksyon an ak zouti ki pi fòmèl, pi estanda.

YON APWOCH ESTANDA NOSYON FONKSYON  AN

DEFINISYON YON FONKSYON

Gen bezwen twa enfòmasyon pou defini yon fonksyon f:

1) Yon ansanm demaraj (E)

2) Yon ansanm final (Y)

3) Yon règ ki konekte eleman ansanm demaraj la (x) ak eleman ansanm final la (y)

Soti kounye a, sèl si nou ta di lekontrè, tout fonksyon nou ap sèvi yo ap yonsèlvwa. Nou ap konsantre nou sou eleman ki nan ansanm reyèl yo, R, alafwa pou ansanm demaraj la, E, epi pou ansanm final la, F. Yon fonksyon kon sa gen yon sèl varyab reyèl nan ansanm demaraj la, ki rele varyab endepandan, ak yon sèl varyab reyèl nan ansanm final la, ki rele varyab depandan. Yo konn rele fonksyon sa yo « fonksyon reyèl varyab reyèl », ki gen pou mak fabrik :

1) Yon ansanm demaraj R

2) Yon ansanm final R

3) Yon règ ki konekte chak grenn x nan R demaraj la ak yon grenn y, pou pi plis, nan R final la.

Nan ekonomi, yo konn rele x nan ansanm demaraj la varyab andedan (andojèn, sa vle di soti anndan sistèm/modèl nou ladan an), epi y nan ansanm final la yo konn rele l tou varyab andeyò (egzojèn, sa vle di ki soti deyò sistèm nan).

MONOM, POLINOM AK FONKSYON RASYONEL

Gen fonksyon ki sèvi blòk pou konstwi lòt fonksyon ki pi konplike. Fonksyon sa yo se yon seri fonksyon senp senp yo rele « monom ». Men ki fòm yo toujou genyen:

\displaystyle{y=f(x)=ax^p}

Kote se yon nonb reyèl, ki pa egal zewo, yo bay non koyefisyan; epi espozan p a se yon nonb pozitif epi ankè (ki fini ak yon chif won), ki pote non degre monom nan. Egzanp:  \displaystyle{f(x)=x^2} , ki gen degre 2.

Lè ou pran plizyè monom kon sa ou kole yo ansanm gras ak siy adisyon oubyen soustraksyon, ebyen sa ou jwenn nan rele polinom. Men fòm jeneral li:

P(x)= A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + A_1+A_0 \quad A_n \neq 0

Degre monom ki pi wo a tou sèvi pou degre polinom nan.

Gen valè x ap pran ki ap tou fè polinom nan egal zewo. Yon valè x kon sa, yo ba li pote non rasin polinom nan. Yon polinom kapab gen plizyè rasin. Men si degre polinom nan se n, pi gwo kantite rasin diferan li kapab genyen se n. Sa ka rive li genyen mwens, paske kèk nan rasin yo ka menm, men Teyorèm fondamantal aljèb la, ki pote non Teyorèm D’Alambert-Gauss tou (Dalanbè-Gos), aprann nou tout polinom gen yon rasin pou piti (rasin sa a anndan yon ansanm nonb ki pi laj toujou pase R, yo rele ansanm nonb Konplèks yo, \displaystyle{\mathcal{C}}). Rasin yo enpòtan anpil, paske nonsèlman yo pèmèt faktorize polinom yo (sa vle di dekonpoze yo sou fòm miltiplikasyon plizyè polinom degre 1), men souvan yo se solisyon yon seri pwoblèm enteresan ki poze sou fòm yon ekwasyon. Nan dosye sou aljèb n ap gen pou nou prepare a, nou ap retounen an detay sou polinom yo.

Nou te wè nou ka adisyone monom pou yo ban nou polinom. Ositou, nou ka divize yon fonksyon polinom ak yon lòt pou li ban nou yon fonksyon rasyonèl :

\displaystyle{y=\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + A_1+A_0}{B_nx^n+B_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + B_1+B_0}} \quad Q(x)\neq 0

Sèl kondisyon pou fonksyon sa a gen sans, se pou polinom ki anba a, sa vle di denominatè a, pa egal zewo, paske divizyon an p ap posib si se kon sa.

DE MANMAN FONKSYON: ALJEBRIK AK TRANSANDAN

Gen yon bann fonksyon nou ka fòme ak polinom yo. Men yon fason senp nou ka klase fonksyon yo se lè nou sèvi ak nosyon fonksyon aljebrik yo. Tout fonksyon nou sot site piwo a (monom, polinom, fonksyon rasyonèl) se fonksyon aljebrik yo ye. Pou yon fonksyon y merite non sa a, fòk li kapab solisyon yon ekwasyon tankou sa :

A_n(x)y^n+A_{n-1}(x)y^{n-1}+ \cdots + A_1(x)y+A_0(x)=0

Kote tout koyefisyan yo (Ak(x) yo), se polinom yo ye. Vrèmanvre, yon fonksyon polinom se yon ka espesyal anndan jeneralite sa a, kote :

y+A_0(x)=0

Kanta pou fonksyon rasyonèl yo, yo ka ekri kon sa:

A_1(x)y+ A_0(x)=0

Lòt fonksyon ki pa aljebrik yo, yo di yo se fonksyon transandan. Nan kategori fonksyon transandan yo nou jwenn logarit, esponansyèl, fonskyon trigonometrik tankou sinis ak kosinis. Yon teyorèm ki konn ede demontre yon fonksyon li transandan, se Teyorèm Eisenstein lan (Ayzennchtayn). Nan dosye aljèb la, ap gen plis kòzman sou zafè sa a.

Nan pwochen atik yo, n ap detaye pi plis sou kèk kategori fonksyon senp anndan polinom yo (fonksyon liy, fonksyon afin), n ap entwodui  nosyon tankou graf, pantgrandisman yon fonksyon. N ap pale tou sou fonksyon resipwòk yo ak fonksyon konpoze yo, defini kèk lòt fonksyon pa ka pa la tankou logarit, esponansyèl ak fonksyon trigonometrik yo. N ap liste epi demontre kèk rezilta enpòtan, konsa djakout nou ap chaje kou Legba ak zouti ki pral pèmèt nou plonje pi fon anndan branch matematik yo rele Analiz la.

KEK REFERANS

Histoire de la notion de fonction

Mathématiques pour économistes

 

[1] Mo ki gen “uni” ak “multi” sa yo, nou ap kontinye chèche yon fason pou nou tradui yo lè yo pa ko gen tradiksyon (tankou inivèsite, inifòm ki yo menm deja an kreyòl). Kanta pou « -voque » la, nan « univoque », nou jwenn li nan lòt mo tankou « équivoque ». Sa n ap fè ak li? Nan alman ak angle, li tounen « vocal ». Li soti nan laten « vocus » ki gen pou wè ak « vwa moun, kriye, di, rele ». Nan plas fonksyon inivòk ak miltivòk, ki pa vle di anyen pou yon kreyolofòn, nou ap pèmèt nou di pito : fonksyon yonsèlvwa, plizyèvwa. Epi nou ta ka sèvi ak menm adjektif sa yo tankou non nan plas mo « inivosite » ak « miltivosite » yo :  kreyòl la pèmèt yon lizay konsa.

[2] Pou ansanm final la nou te ka ekri R tou senpman, si nou sipoze chofè a ka remèt pasaje a plis kòb pase sa li ta dwe remèt.