Tous les articles par okennnon

Derivasyon enplisit

Pwòf AP pote yon lòt biyè tou cho pou nou sou teknik derivasyon enplisit la.

Yon rivyè k ap fè S.

Li konn enteresan pou n gade ki chemen yon dlo ki soti nan tèt yon mòn pran pou l desann nan pye mòn nan. Se yon chemen ki fè S. Se paske dlo a ap chache pi bon pant la pou l desann. Lè n ap gade televizyon lè y ap bay bilten meteyo, nou ka petèt konn ap mande tèt nou ki jan prezantatè a fè konnen ki direksyon van an ap pran, oubyen kijan avyatè a fè konn ki direksyon pou l bay avyon an pou van pa ba l twòp pwoblèm. Enben se fonksyon enplisit yo k ap ede n konprann epi reponn tout kesyon sa yo.

Jeneralman fonksyon nou abitye kontre yo gen yon varyab ki depann de lòt la. Pa egzanp nan yon fonksyon y=f(x) , x pote non varyab endepandan tandiske y pote non varyab depandan. Pou eksprime y ou bezwen x , yon ekwasyon konsa rele ekwasyon eksplisit. Lè n pran ekwasyon y=f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}+5x}{x^{3}+3x-8}} se yon fonksyon eksplisit. Li byen fasil pou kalkile derive sa a ak derivasyon logaritmik nou sot wè pi wo a. Tandiske nan yon fonksyon y kote, tankou la, x^{3}+y^{3}=6xy , li pa fasil e li menm enposib pou ekri y tankou yon fonksyon ki depann de x sèlman. Tip fonksyon sa yo makònen varyab yo ki se x ak y nan yon relasyon nou rele relasyon enplisit. Yon relasyon konsa ka ekri sou fòm f(x,y)=k kote k se yon eleman nan ansanm reyel yo, \mathbb{R}. Sèl yon lojisyèl kalkil fomèl ki ka rive eksprime y jan nou bezwen an, men…ekspresyon an ap makawon.

Erezman li pa nesesè pou n eksprime y kòm yon fonksyon ki depann de x aklè pou n kapab kalkile derive li. Depi tou de bò ekwasyon an derivab (depi derive a egziste), n ap annik derive chak bò yo apa. Tankou :

Nou dwe jwenn yon ekwasyon ki pemet nou izole y' (se sa jeneralman nou rele tire a). Nou dwe toujou sonje n ap derive y pa rapò ak x . Sa m sot di la a ka petèt pi klè si m aplike l sou ekwasyon ki pi wo a :

Rive nan pwen sa a, li enpòtan pou n raple w kèk ti detay sètènman nou te konnen deja. M vle pale de règ derivasyon fonksyon konpoze yo ak derive fonksyon ekspozan yo.

Si n se yon eleman nan \mathbb{R} epi f(x) se yon fonksyon nou ka derive. Derive fonksyon \left[f(x)\right]^{n} ka pa parèt evidan pou yon moun. N ap itilize nosyon sou derive logaritmik yo nou te wè nan biyè anvan an pou n fè sa parèt klè kou dlo kokoye pou ou.

Pou n kalkile derive fonksyon sa a, an n poze fonksyon an egal ak z (z=\left[f(x)\right]^{n} kote y=f(x) ) epi n ap pran logarit fonksyon z la.

Nou ka remake, nan kolòn derive logaritmik la, nou rive jwenn byen fasil fòmil jeneral derive fonksyon puisans (D_{x}(x^{n})=nx^{n-1} ). Demonstrasyon fòmil bazik sa a souvan sèvi ak fòmil binom Newton nan, an jeneral pou ka kote ekspozan an se yon nonb antye. Men e si ekspozan an se yon fraksyon? Menm si fòmil binom Newton nan ka jeneralize pou ka ekspozan ki se fraksyon yo, nan fen biyè sa ou pral wè kòman byen fasil, gras ak derivasyon enplisit, nou ka jeneralize fòmil derive fonksyon puisans lan pou ka kote ekspozan an se yon fraksyon.

Kidonk, pou nou retounen

Pou ekwasyon nou gen pi wo a, sa ap bay :

Nou vin genyen

Donk, apre nou fin tire y'

Fonksyon yo rele fonksyon enplisit sa yo, jeneralman nou jwenn yo nan domèn sa yo : meteyowoloji, ayewodinamik, elektwonik, topografi, jeoloji, ekonomi, elatriye. Fonksyon sa yo detèmini yon fanmi koub yo rele liy nivo oubyen koub nivo, koub endiferans nan mikwoekonomi, koub izotèm, liy izoba, liy chan, liy kouran, suivan domèn y ap itilize yo a. Liy sa yo souvan pèpandikilè ak yon lòt fanmi koub ki se souvan sa nou konn pi bezwen an. Prefiks izo oubyen eki devan mo sa yo tradui yon koub kote grandè fonksyon an reprezante a gen menm valè a sou tout pwen ki fòme koub la.

Egzanp :

Izoba : koub ki endike tout pwen kote presyon an se menm bagay

Izotèm : koub ki endike tout pwen kote tanperati a se menm bagay

Ekipotansyèl : koub ki endike tout pwen kote potansyèl la se menm bagay

Pou yon tèmisyen konnen nan ki direksyon ekoulman chalè ap fèt li itilize koub izotèm yo. Fanmi koub ekoulman chalè a toujou pèpandikilè ak fanmi koub izotèm yo.

Si n konsidere de fonksyon sa yo :

Premye reprezante yon fanmi ipèbòl epi dezyèm nanreprezante yon lòt fanmi ipèbòl ki genyen dwat y=\pm x yo kòm asenptòt. Nou pral montre chak koub nan premye a pèpandikilè ak chak koub nan dezyèm nan.

Ekwasyon (1) an ak (2) montre nou nan chak pwen kote koub nan chak fanmi yo kontre, pant tanjant yo se opoze envès youn ak lòt. Nou te aprann si pwodui pant de dwat egal ak -1, de dwat sa yo pèpandikilè. ( Gade desen pi ba a.)

Reprezantasyon grafik fanmi koub yo.

Jan nou te anonse sa a, ou kapab sèvi ak derivasyon enplisit pou ou demontre fòmil derivasyon fonksyon puisans lan (D_{x}(x^{n})=nx^{n-1} ) valab menm lè ekspozan an se yon fraksyon (yon nonb rasyonèl ki pran fòm n=\frac{p}{q}, kote p, q se de nonb antye epi q\neq 0 ). Ebyen, nan ka sa a, teknik la se defini yon fonksyon y=x^{\frac{p}{q}} , epi poze y^{q}=x^{p} . Konsa ou ka aplike fòmil derive fonksyon puisans lan sou chak manb pandan ou ap itilize metòd derivasyon enplisit lan. Sa w panse si w eseye?

Wout kwochi a konn pi kout: derivasyon logaritmik


Jodi a, se yon jou espesyal. Se premye kontribisyon nou resevwa nan men yon lektè blòg la. Biyè jodi a, se Pwofesè AP ki pote l pou nou. Lajès li san limit: li gentan gen yon lòt biyè k ap kuit.


Biyè ki te vin anvan an sou zafè derive yo te fè yon bèl rale sou kijan yon moun k ap aprann Matematik pa dwe twonpe tèt li sou dispozisyon li dwe pran pou l byen fè Matematik.  Li pa ra pou yon moun tande yon elèv k ap pale ak yon lòt pou l di: « Mwen menm se mat m renmen paske l pa gen pa kè ladann ». Yon moun ki di sa li twonpe tèt li. Se sèlman lè w konn teyori a byen ou ka metrize matyè a. Si gen yon matyè ki gen plis memorizasyon ladann se matematik. Nou dwe etidye epi memorize chak teyorèm, chak kowolè ak chak definisyon. Se lè sa a n a prèske pare pou nou konprann matyè a.

Si gen yon matyè ki gen plis memorizasyon ladann se matematik.

Pou nou fè suit a biyè ki te pale sou Metòd derivasyon Feynmann nan, jodi a nou pral pale sou Derivasyon logaritmik.

Kèk pouvwa fonksyon logarit la

Nou te wè kijan Metòd derivasyon Feynmann nan se yon zouti puisan pou nou kalkile derive fonksyon konplike ki gen ekspozan, pwodui, divizyon plizyè fonksyon. Pou sa te fèt nou te itilize fòmil derive yon pwodui . Men lè kantite fonksyon ki nan pwodui a depase 3, demonstrasyon sa a ka twò lou. Granmesi yon fonksyon nan Matematik la ki rele logarit (\log oubyen \ln ), travay sa a vin pi fasil, paske fonksyon sa a gen kèk pwopryete ki enteresan lè yo aplike l sou yon pwodui oubyen yon divizyon plizyè fonksyon.

Sa nou ka jeneralize, nan ka pwodui a, konsa:

Ti bemòl nou dwe mete, fonksyon f la dwe yon fonksyon ki pa anile, paske derive logaritmik yon fonksyon se

Nou konnen li pa posib pou n gen zewo kòm denominatè. Si fonksyon f la se yon fonksyon ki pran sèlman valè ki pi gwo pase 0 ( \forall x \in \mathbb{D}_f, f(x)>0), derive logaritmik la fè yon sèl ak derive fonksyon konpoze (\ln f ) la.

Sa vin ba nou, pou yon fonksyon f=u\cdot v\cdot w\cdot z

Kidonk,

Fòmil sa a se menm ak sa nou te jwenn nan biyè sou metòd Feynman lan.

Yon egzanp pou nou fini.

An nou di ou gen pou w kalkile derive yon fonksyon konsa:

Nou ap jis pran logarit 2 manm yo:

Fè m konfyans, si n te pase nan metòd tradisyonèl la, nou t ap fini wi. Men chimen an t ap long.