Tous les articles par Stevens Azima

A propos Stevens Azima

Ekonomi ak matematik an kreyòl, klè kou dlo kòk.

Remèd SIDA: yon match biznis-lasante

Se sitou sou yon ankadre nan liv Bénassy-Quéré et al. (2012) la, 
"Politique économique", biyè sa a chita.

Soti nan lane 2000 rive nan lane 2010, pri tretman kont maladi SIDA bese soti 10 000 USD pou rive nan 116 USD, pou chak malad, yon degrengolad ki reprezante prèske 99% kantite kòb sa te konn koute an 2000 lan. Youn nan rezon degrengolad pri sa, se paske yon antant komèsyal te vin pèmèt kèk peyi ki pa devlope (tankou Lend) pwodui medikaman sa yo poukont yo malgre se gwo konpayi famasi nan peyi rich yo ki te gen brevè sou medikaman sa yo, sa vle di fabrikasyon medikaman sa yo te rele yo chèmèt chèmetrès e lòt moun pa sanse gen dwa pwodui yo san konpayi sa yo pa bay otorizasyon pou sa.

An reyalite, se gwo konpayi sa yo ki te fikse pri medikaman SIDA yo twò wo pou yo te ka fè bonjan benefis. Ti peyi yo an nik jwenn posiblite pou pwodui medikaman sa yo, sa ou tande a pri a pran bese, paske pwodiksyon an pa koute chè pase sa! Men fòk nou fè atansyon: pwodiksyon an ka fasil, li gen dwa pa koute chè pase sa e pri famasi yo gen dwa twò wo vre parapò ak depans sa koute pou ou pwodui medikaman sa yo, men nou pa dwe bliye pou konpayi sa yo te rive dekouvri medikaman sa yo epi teste yo, sa te mande gwo envestisman. An reyalite se kòmsi ti peyi yo te pran daso sou pil rechèch gwo konpayi famasi sa yo fin redi fè. Men jan nou di a, se kòmsi…se pa konsa sa ye toutbon si nou antre lòt konsiderasyon ki pa gen pou wè sèlman ak ekonomi (listwa, politik, elt.). Antouka…

Se vre, zafè gwo konpayi ki bay lajan plis enpòtans pase sove lavi moun nan se yon pwoblèm, men yon lòt bò si yo pa ka fè benefis yo vize a, si pwopriyete entèlektyèl (espesyalman sa yo rele pwopriyete endistriyèl la) yo genyen sou medikaman yo dekouvri yo pa pwoteje, yo gendwa dekouraje, sispann envesti epi konsa rechèch la gendwa fè mwens pwogrè.

Kisa nou panse? Pito rechèch yo fèt menm si moun ki bonjan nan bezwen yo pa gen lajan pou yo benefisye? Lè sa a, ki itilite rechèch la? Oswa pito nou sove moun nou ka sove kounye a, san pèdi tan, menm si alavni gwo konpayi famasi sa yo dekouraje fè rechèch malgre se yo ki gen mwayen ekonomik pou fè gwo kalite rechèch sa yo? Ki wòl leta ni peyi rich yo, ni peyi devlope yo te ka jwe nan dosye sa? Ant sove lavi malere, e ankouraje rechèch, kibò solisyon pwoblèm sa chita? Kisa nou panse? Men pi gwo kesyon pou nou poze a se èske se pa yon fo dilèm etik?

 

 

Ki politik agrikòl pou Ayiti? (1/2)

Nan seri biyè sa a, nou pral gade ansanm kèk politik agrikòl teyori byennèt la nan ekonomi pèmèt nou jistifye. Chaje teyori nou ta kapab rale pou nou analize sitiyasyon sektè agrikòl ayisyen an epi imajine kèk solisyon, men pou kounye a nou ap konsantre nou sou ekonomi byennèt la ki yonn nan teyori ekonomik yo plis rale pou jistifye entèvansyon leta nan ekonomi an.

Men anvan nou antre nan kè diskisyon an, li ap bon pou nou fè yon ti prezantasyon rapid rapid sou Ayiti, agrikilti li, apre sa pou nou gade deba sou aksyon leta nan ekonomi an-espesyalman nan sektè agrikòl la. Apre sa nou ap pare pou nou gade ki eleman teyori byennèt la pote nan deba sa a ak kòman yo ka adapte ak reyalite agrikilti peyi a.

Soti depi lè ti konkonm t ap goumen ak berejèn

An nou soti dèyè nèt pou nou ale devan. An 1804, yon revolisyon esklav nan koloni franse yo te rele alepòk Sendomeng lan te chavire yon sistèm plantasyon monokilti esklavalajis Kolon franse yo te tabli. Lojik (si nou ka rele sa lojik) sistèm sa a te fè koloni an tounen yon sous matyè premyè pou Metwopòl la san posiblite fè afè ak lòt gwo pisans alepòk yo. Men koloni Sendomeng lan an nik fin pran endepandans li pou li vin tounen Ayiti, sa ou tande a yon  seri kontradiksyon-hinghang reparèt tèt yo. Espesyalman, nouvo nasyon an pa t ka jwenn yon antant sou fason pou tè yo ak richès yo depataje ant Nouvo Lib yo ak Ansyen Lib yo- sa vle di, pou pi fò, pitit Kolon yo te degèpi yo.

Anpil bagay pase depi lè a jouk nou rive an 1915, lè okipasyon meriken an ki t apral dire 19 lane. Anvan sa, Ayiti t ap fè fas ak gwo pwoblèm enstabilite politik. Pandan okipasyon sa a ki t apral fè anpil san Ayisyen-sitou san peyizan- koule san bliye dappiyanp ki te fèt sou resous peyi a, te kanmèm gen yon seri envestisman enteresan ki te fèt nan sektè agrikòl la, sitou nan sa ki gen pou wè ak enfrastrikti agrikòl.

1957: François Duvalier (Franswa Divalye) pran pouvwa a, annapre li tabli yon diktati fannfwa-zagoloray. Pandan diktati a, majinalizasyon peyizan yo, ki te deja yon reyalite t apral vin pi grav (Bastien-1951- rapòte tout nan lane 1940 yo, gen peyizan nan mòn ki te kontinye ap priye pou Wa, Rèn ak Dofen Lafrans lan tèlman yo te izole parapò ak rès peyi a). Prelèvman lajan Leta santral t ap fè sou ti peyizan yo t ap toupizi yo san yo pa jwenn anyen serye an retou.

1986: Atravè yon dechoukay, popilasyon an koupe fache ak rejim diktati a. Konstitisyon 1987 la deklare defini demokrasi nou an. Men yon seri faktè, tankou enstabilite politik, etranje ki ap foure bouch nan zafè peyi a, anbago Etazini ak lòt gwo peyi yo (pandan peryòd sa a, 1991-1994, pwodiksyon agrikòl peyi a pèdi anpil nan valè li epi anpil pyebwa koupe tou, sa ki t apral agrave sitiyasyon anviwònman an), kriz ekolojik, politik komèsyal peyi a chwazi oswa yo fè presyon sou li pou li adopte yo, gaspiyaj kòb Petro Caribe a ak koripsyon an jeneral, move gouvènans, elt. t apral mete ansanm pou rann tranzisyon demokratik la konplike epi anpeche sitiyasyon moun pwovens yo amelyore. Dapre Bank Mondyal (2014) e jan sa parèt nan grafik pi ba a, soti 2000 rive 2012, to povrete a an Ayiti bese (31% al nan 24%), pa vil yo poukont pa yo pèdi plis pwen pousantaj toujou (21% al nan 12%), kanta pou sa zòn Pòtoprens lan menm li bese soti 20% al nan 5% pandan pa zòn pwovens yo…rete nan menm nivo 38% li te ye an 2000 la! Kidonk moun pwovens yo toujou deyò wonn nan. Dayè, Ayiti se yonn nan peyi ki gen plis inegalite nan mond lan. Pou yon analiz detaye sou istwa agrikòl peyi a, gade liv Sebatien Hilaire (1995) la, Le prix d’une agriculture minière.

Sous: Bank Mondyal (2014)

Alèkile, chif nou sot wè yo ak ti rale istorik sa nou sot fè a dwe pouse nou poze kesyon sou diskou ofisyèl ki ta vle fè kwè Ayiti se yon peyi « esansyèlman agrikòl » la epi Agrikilti se yon priyorite pou gouvènman yo (menm si pwa agrikilti nan bidjè a gen tandans ogmante depi kèk ane). Dayè, an nou pwofite, rapid vit, gade pi pre pwofil sektè agrikòl Ayisyen nan kontèks ekonomi peyi a an jeneral.

Peyi esansyèlman agrikòl: palemwadsa!

Patisipasyon agrikilti nan PIB peyi a mwens pase 25% jounen jodi a, sa ki antre nan kad yon degrenngolad enpòtans li nan ekonomi an pandan sektè tèsyè a (sèvis, komès) ap vale teren nan pwen pou gen otè ki di ekonomi peyi a ap tèsyarize li. Men yon lòt bò, nou p ap bliye sektè agrikòl la kontinye bay nenpòt 50% popilasyon aktif peyi a travay. Apre sa, se 48% sèlman nan manje ki gen nan peyi a pou moun manje ki se pwodiksyon nasyonal. Rès la se sitou enpòtasyon ak yon pati ki se èd alimantè peyi a resevwa. Sa pa t toujou konsa. Te gen yon lè, pwodiksyon peyi a te sanse sifi pou bay peyi a manje. Men sa se yon lòt istwa. Jodi a, nou sitou enpòte pwodui endistriyèl (30%), manje, bwason ak tabak (23%) ak petwòl (20%). Akoz Lwa Hope la nan kontèks apre-tranblemanntè a, jodi a pifò ekspòtasyon nou se pwodui tekstil ki fèt nan faktori (80% ekspòtasyon yo), sèlman 2.9% ki soti nan sektè primè-agrikòl la. Se sitou pwodiktè yo, enpòtatè yo, sara yo, gwosis yo ak detayan yo ki asire distribisyon pwodui yo fè yo rive jwenn konsomatè a.

Vilaj Jeantilhome, Mòn Lasèl

Pifò peyi a se mòn (nou pa pote non Ayiti a, ki vle di « tè mòn », pou bèl twal). An reyalite, 80% peyi a se mòn e 60% tè yo gen pant ki depase 40%. Zòn ki resevwa plis lapli a nan sidwès peyi a pandan zòn ki resevwa mwens lapli yo nan nòdwès peyi a. Lèfini, an Ayiti, nou gen 2 sezon lepli ak 2 sezon lesèk menm si konn gen ti varyasyon sot nan yon zòn al nan yon lòt,. Genyen plis tè ki kiltive pase kantite tè ki ta dwe kiltive yo.

Peyizan ayisyen yo fè agrikilti pou yo ka viv (sibzistans) ak pou yo fè kòb (nan vann pwodui yo sou mache a). Men kanmèm, dènye resansman agrikòl la, 2008-2009, te revele nenpòt 60% eksplwatasyon yo di premye objektif yo se vann, apre sa asire pwòplamanjay yo (otokonsomasyon).

Ki manje nou pwodui? Bon, pou pwodiksyon vejetal, nou sitou fè sereyal (mayi, pitimi, diri-prèske 40% sifas agrikòl yo kiltive yo se pou sereyal e 21% sifas sereyal yo se monokilti), pwa, legim, fwi ak nwa, pistach, elt. Pou pwodiksyon animal, nou gade kabrit, bèf, kochon (pou peyizan an, sa yo ka sèvi tankou lajan sere fon fon), ak tou poul, pijon, kodenn…(pou peyizan an sa yo ka jwe wòl lajan sere yo ka itilize trapde si yo angaje). Dapre dènye resansman an, 52% agrikiltè yo pa konn li ak ekri e 52% te genyen ant 35 ak 54 lane, kidonk popilasyon agrikòl la jèn kanmèm.

Yonn nan gwo pwoblèm-makfabrik agrikilti nou an se kesyon tè a, kesyon fonsye a. Yon bò, tè yo fin fè miyèt mòso tank jenerasyon ap pase. Jodi a yon jaden an mwayèn mezire 0.5 ekta sèlman. Sa sitou pran rasin nan fason chak eritye jere tè endivizyon yo poukont pa yo a oswa jan yo ka apiye sou atik 674 Kòd  Sivil ayisyen an pou reklame yon  separasyon fòmèl. Tout sa patisipe nan fè tè yo vin fè miyèt mòso a. Michèle Oriol akVéronique Dorner fè yon bèl rale sou kesyon endivizyon ak dwa fonsye a an Ayiti.

Yon lòt bò, gen yon sitiyasyon ensekirite fonsye jeneral nan peyi a. Sa vle di anpil moun, anpil peyizan ap sèvi ak tè san yo pa ka pwouve tè yo se pa yo. Endivizyon an se yonn nan koz yo. Kèk lòt koz ensekirite fonsye a se: tranzaksyon tè enfòmèl, fèmaj tè ki dire twòp tan, dappiyanp sou tè absanteyis yo ak anvayisman tè Leta. Ensekirite fonsye a se yon pwoblèm paske li vle di 1) nenpòt lè moun nan ka pèdi tè a 2)akoz risk pou li pèdi tè a, sa ka fè li pa pran swen li oswa envesti ladan jan li t ap fè sa si pa t gen ensekirite fonsye. Ta sanble nenpòt 75% tè pwovens yo se enfòmèlman peyizan yo ap jere yo, sou baz lizay ak koutim. Kesyon tè sa a se yon kesyon ki sansib anpil, anpil moun ki al manyen dwèt yo boule. Li t ap mande, anplis revizyon lwa yo, yon bon kadas ak yon bon refòm agrè tou. Men sa tou se yon lòt pawòl…

Menm si plen aspè ki pa parèt nan ti prezantasyon ki sot fèt la sou sektè agrikòl Ayiti a nan kontèks ekonomi peyi a, li ta dwe sifi pou chita kontèks la ak anje yo pou lè nou pral aplike ekonomi byennèt la pou idantifye pwoblèm yo pi klè epi pwopoze solisyon politik agrikòl ki adapte. Men anvan nou rive la, an nou gade poukisa gen yon deba sou entèvansyon leta nan ekonomi an ak kòman deba sa a evolye.

Mache-Leta: yon istwa Kòkòt ak Figawo?

Yon fason senp (men ki chaje limit) nou kapab imajine rapò Leta avèk ekonomi an se trase yon liy, mete leta nan yon pwent epi mache a nan yon lòt pwent. Nan pwent mache a, kijan bagay yo fonksyone? Ebyen se ta kòmsidire men envizib mache a t ap bat pou malgre chak moun ap defann pwòp enterè yo, san yo pa konnen, yo patisipe nan defann yon enterè kolektif epi rive anntann yo sou yon pri ekilib.  Hayek (1945) te gen yon espresyon li te itilize pou sa, li te prezante kapasite mache a genyen pou li konsantre tout enfòmasyon enpòtan yo nan pri pwodui yo kòm yon « mèvèy ». Nan ki sans li se yon mèvèy? Imajine si se yon grenn moun poukont pa li ki t ap planifye tout aktivite sa yo! Fòk li ta panse ak tout ti bagay: sa moun yo renmen, sa yo bezwen, konbyen yo pare pou peye pou li, ki kantite yo prevwa achte, elt. Nan yon peyi ki gen plizyè milyon moun, li difisil pou imajine yon grenn moun (oswa yon enstitisyon) ta ka fè tout travay sa poukont li. Poutan, anpil fwa, mache a rive fè travay sa kanmèm byen, san pèsonn pa panse ak sa. Gedankenexperiment sa a (Eksperyans panse) nou sot fè a tou mennen nou nan lòt pwent egzanp nou an, ki se Leta.

Aksyon Leta a nan ekonomi, konpare ak pa mache a, ta plis sanble ak yon « men vizib », yon men nou ka wè. Mak fabrik leta se kapasite li genyen pou li finanse tèt li gras ak sa yo rele fisk la (gwoso modo, lajan taks ak enpo nou yo). Anplis lajan li pran sou moun yo ki gentan yon aksyon, Leta konn sèvi ak lajan sa yo pou li swa fè depans sou mache yo pou kapab enfliyanse bagay yo, swa distribye lajan oswa byen/sèvis (sibvansyon, èd, sèvis leta yo, elt.). Men aksyon leta pa rezime ak yon koze lajan oswa pwogram. Desizyon li, pawòl li tou konn enfliyanse bagay yo. Desizyon ki pi evidan ki vin nan tèt nou se lwa yo. Lwa yo bay yon kad legal ki defini epi garanti dwa popyetè yo. Tankou, se lalwa ki di men kilè yon moun ka di li posede yon tè e ak ki kondisyon li ka itilize l, vann li, elt. Menm si an reyalite bagay yo pi konplike toujou (koutim ak tradisyon konn pi fò pase lwa yo pafwa, jan nou te wè sa lè nou t ap pale de ensekirite fonsye a), san lwa sa yo nou te ka pa dakò sou anyen e sa te ka rive okenn echanj pa janm posib.

Kidonk, modèl Leta nan yon pwent, mache a nan yon pwent lan chaje limit. 2 gwo limit mwen ap site se: 1) Li bay enpresyon ekonomi an rezime ak sa k ap pase sou mache yo sèlman. Christine Delphy, nan liv L’ennemi principal (Economie politique du patriarcat) a, fè yon kritik konsa kote li raple nou plen tranzaksyon ki ap fèt deyò mache a tou, anndan fanmi yo pa egzanp (tankou transfè patrimwàn ak eritaj familyal yo) 2) Leta pa dekonekte ak mache yo. Menm si tou de pa t toujou egziste nan listwa sou fòm yo ye jounen jodi a (finalman se 2 enstitisyon ki resan), jounen jodi a nou pa ka separe yo. Relasyon yo a plis sanble yon relasyon Kòkòt ak Figawo: yonn pa mache san lòt. Distenksyon sa a, si nou fè l ak si nou pa fè l, kapab genyen gwo konsekans epistemolojik sou fason nou ap analize fenomèn ekonomik yo. Nou gen pou nou tounen sou sa, men annatandan si ou vle ou kapab li yon bèl tèks Gislain ekri sou sa (men mwen avèti nou: tèks la gen dan).

An nou gade kòman, depi 20yèm syèk la deba sou relasyon ant Leta ak ekonomi an evolye. Nan kòmansman 20yèm syèk la, teyori Keynes yo t apral sèvi pou jistifye entèvansyon Leta nan ekonomi an. Paralèlman te gen yon wounouwounou parapò ak koze pou Leta ap planifye ekonomi an, lakay otè tankou Hayek, sandout paske sa te gen ti resanblans ak ekonomi sosyalis-kominis yo. Men sa pa t anpeche « Leta sosyal » la devlope, yon leta ki peze anpil nan fonksyònman ekonomi an, nan peryòd Apre-Gè a. An 1959, Musgrave te gentan idantifye 3 gwo fonksyon leta ka jwe nan ekonomi an: yon fonksyon alokasyon pou asire l yo sèvi ak resous yo yon fason ki efikas, yon  fonksyon redistribisyon pou asire l gato a byen separe, epi yon fonksyon  estabilizasyon pou asire l pa gen twòp monte desann ak dezekilib nan ekonomi an.

Men kriz petwòl yo ta pral fè anpil moun poze tèt yo kesyon sou pètinans entèvansyon leta yo. Paralèlman, paradigm liberal la t ap penetre ti pa ti pa zansèt Oganizasyon Mondyal Komès la (OMK), sa yo te rele GATT la. Men, toutpandan Leta t ap resevwa kritik sa yo pou prezans li anpil moun te twouve ki plis bay pwoblèm olye li rezoud pwoblèm ekonomik yo, sektè agrikòl la yo te toujou trete li tankou yon ka apa, yo pa t kesyone entèvansyon leta nan sektè sa a e menm gen agiman ak teyori yo te devlope espre pou montre kòmkwa sektè sa pa yon sektè tankou tout lòt yo (farm problem) e entèvansyon leta a genyen tout sans li nan ka sa a.

Men politik agrikòl yo tou t apral finalman pran kèk frap (espesyalman nan kad deba Uruguay Round yo ki t apral finalman akouche OMK). Deba sa a, ki te sitou ap dewoule ant peyi rich yo, t apral touche peyi an devlòpman yo toutbon sandout atravè premye politik ajisteman estriktirèl FMI yo pou peyi ki gen dèt yo. Nan kad politik sa yo, yonn nan kondisyon yo te bay peyi sa yo swadizan pou ede yo reprann fòm kò yo, se redui depans leta yo.  An Ayiti, politik sa yo kòmanse touche nou nan fen ane 80 yo, yo akselere yo nan mitan ane 90 yo. 2 gwo konsekans ki gen rapò ak agrikilti nou : 1) se apati epòk sa a pwodui enpòte kòmanse ap antre libelibè sou mache nasyonal la, san twòp baryè komèsyal pandan anpil nan peyi rich sa yo (tankou Etazini) te kontinye ap soutni agrikilti pa yo e kontinye fè sa jouk jounen jodi a. 2) Gen yon seri sèvis Ministè agrikilti te konn bay li vin pa ka bay yo ankò. Yon egzanp resan ki ka montre nou akisa yon politik ajisteman estriktirèl ka sanble e ki pwoblèm li ka poze se sa ki te pase an jiyè 2018 la ki te konsekans yon antant ant Leta ayisyen ak FMI pou redui depans leta yo, espesyalman atravè eliminasyon sibvansyon gaz la.

Men an jeneral, menm anwetan konsiderasyon politik sa yo ki pa fòseman gen anyen pou wè ak ekonomi vre, kesyon pètinans entèvansyon leta nan ekonomi an, e sa gen ladan sektè agrikòl la, merite poze. Pou yon senp rezon dapre m: lajan leta yo gen yon kou opòtinite. Sa vle di pou tout depans leta ap fè, gen yon lòt bon kote li te ka fè depans sa yo: kidonk fòk li ka esplike pouki se la li chwazi depanse li olye li depanse li yon lòt kote. An gwo, sa vle di resous yo limite e bezwen yo anpil. Nou pa ka ap itilize resous yo vaykevay. E se la menm teyori yo kapab itil, paske yo gide nou nan aksyon nou yo, yo evite nou pati nan tout direksyon tankou chen fou, yo pèmèt nou konsantre efò yo sou kèk pwen enpòtan epi gen yon ide sou konsekans aksyon nou yo anvan menm nou poze aksyon sa yo. Se sa nou pral wè nan rès biyè sa a, nan ka teyori byennèt la, apre nou fin prezante gran pwen li yo.

Kite l mache!

An gwo, men sa nou pral pale. Gen yon teyori konsomatè. Gen yon teyori pwodiktè. Yo fè 2 teyori sa yo rankontre pou fòme yon teyori ekilib jeneral ki konsène tout ekonomi an. Dènye teyori sa a di gen yon sistèm pri pou tout mache yo met ansanm ki kapab fè finalman òf global la egal demann global la. Lè sa fèt, sa vle di lè pa gen ni eksè ni mank nan ekonomi an, yo di ekonomi an an ekilib. Ekilib sa a se yon ekilib jeneral. Rezònman sa nou sot fè li pou tout ekonomi an, men nou kapab fè li pou yon sektè oswa menm pou yon grenn pwodui apa: lè konsa yo di se yon ekilib pasyèl. Nou ap gen pou nou devlope tout sa yo fòmèlman lè nou fin genyen tout zouti matematik nou gen bezwen yo nan djakout, tankou zouti Analiz matematik yo (nou kòmanse deja), teyori ansanm, kalkil vektoryèl ak kalkil matrisyèl,aljèb an jeneral ak kèk eleman topoloji. Lè nou ap fè pil matematik sa yo, se pa san rezon, yo pral ede nou pi devan. Men mwen pwomèt nan biyè sa jodi a p ap gen yon grenn fòmil matematik.

Ekilib echanj nou sot di ki ka egziste sou mache yo, yo rele li yon ekilib Walras. Baz analiz ekilib jeneral la te gentan poze depi sou Walras nan fen 19yèm syèk la. Gen plizyè lòt otè ki te pote kontribisyon enpòtan, tankou Edgeworth (nosyon bwat Edgeworth la ak nosyon koub endiferans lan) ak yon pakapala ki se Pareto (li te entwodui kritè efikasite ki rele kritè Pareto a: yon repatisyon li efikas si li enposib pou ou ogmante satisfaksyon yon moun (amelyore byennèt li) san ou pa retire sou byennèt pa yon lòt moun, lè konsa yo di repatisyon sa a se yon optimòm Pareto). An 1920 tou, Pigou, ki te yon elèv Marshall -yonn nan gwo tèt ekonomi modèn nan- te pibliye yon liv ki te poze fondasyon ekonomi byennèt la (kote li pote limyè sou yon bann kesyon epi aplike zouti yo pou analize kèk sitiyasyon konkrè). An 1954, Arrow ak Debreu, de ekonomis ki te resevwa Pri Bank Syèd nan syans ekonomik lan, t apral demontre matematikman 2 teyorèm ki jodi a pote non teyorèm fondamantal ekonomi byennèt la tèlman yo enpòtan. Yo se yon aboutisman teyorik enteresan, ki ta sanble montre koyerans (entèn) ekonomi neyoklasik la, ki se kouran dominan an aktyèlman nan ekonomi. Kisa teyorèm sa yo aprann nou?

Premyèman. Lè yon seri kondisyon reyini (nou ap tounen sou yo pi ba), ebyen tout ekilib walras ap verifye kritè efikasite Pareto a, sa vle di tout ekilib Walras se yon optimòm Pareto. Men yon fason senp nou ka di sa: depi kèk kondisyon verifye, nou kapab fè mache yo konfyans pou mennen ekonomi an nan yon ekilib, e ekilib sa a ap toujou efikas, san gaspiyaj. An dezyèm, yo demontre, tout optimòm Pareto ki ta enterese ou, gen yon fason ou ka jwe sou repatisyon resous yo okòmansman pou w jwenn yon ekilib Walras ki konfonn ak optimòm Pareto sa a. Sa vle di: si solisyon mache a jwenn nan pa ta satisfè ou malgre li efikas (egzanp:ou gendwa panse li pa ekitab, ou ka panse separasyon gato sa a pa « jis ») ou kapab toujou idantifye yon solisyon ki pi « bon » dapre ou pami tout solisyon ki efikas yo epi ou jwe sou resous moun yo (sa yo rele dotasyon inisyal moun yo) apre sa ou kite mache a fè travay li, teyorèm nan bay garanti ekilib ou ap vin jwenn nan ka koresponn egzakteman ak solisyon ou te vize a.

Tout sa ka parèt abstrè (an reyalite yo abstrè, menm pou yon ekonomis). Men konsekans yo enteresan anpil. An reyalite, malgre teyori sa ta sanble dekouraje leta aji sou ekonomi an, malgre li sanble di nou nou mèt « kite l mache » se konsa nou ap jwenn pi bon rezilta yo, se teyori sa a ankò yo konn rale pou jistifye entèvansyon leta…Kòman sa? Ebyen pou teyori a ak teyorèm fondamantal byennèt yo kenbe, gen yon seri kondisyon strik ki pou verifye. Pwoblèm nan, se raman, pou nou pa di janmè, kondisyon sa yo verifye nan ekonomi an. Kidonk, ekonomis yo ankò, chak fwa yo ka montre yonn nan kondisyon sa yo pa verifye, yo konn sèvi ak sa pou di mache yo echwe (gen yon defayans mache) kidonk gen bezwen pou leta ta antre vin korije sitiyasyon an.

Se konsa moun ka sèvi ak yon teyori ki sanble ankouraje liberalis (kite mache yo mache) pou jistifye entèvansyon leta nan ekonomi an. Kidonk, li vin enpòtan pou nou konnen ki kondisyon sa yo ki dwe verifye a pou teyori a kenbe a, ki konsekans sa genyen lè yonn nan kondisyon sa yo pa verifye, epi ki aksyon ki ka poze pou korije defayans sa yo, espesyalman ki aksyon Leta ka poze pou korije sitiyasyon an. Se sa nou pral wè nan rès biyè a.

Mache yo echwe

Genyen 4 gwo sitiyasyon kote mache yo ka echwe akoz kèk kondisyon ki pa verifye.

  1. Lè genyen ekstènalite  nan ekonomi an
  2. Lè genyen byen piblik oswa byen kolektif
  3. Lè genyen enfòmasyon miwomiba oswa asimetri enfòmasyon)
  4. Lè konpetisyon an, konkirans lan pa pafè (konpetisyon enpafè)

Ekstènalite se lè aksyon yon moun afekte byennèt yon lòt moun san pa gen konpansasyon oswa reparasyon.  Egzanp klasik la se yon moun k ap fimen bò kote yon lòt moun ki pa renmen sa. Nan ka sa a, se yon ekstènalite negatif paske konpòtman moun k ap fimen an retire nan alèz lòt moun nan. Nan agrikilti, yon egzanp ekstènalite negatif se lè yo koupe yon pyebwa nan yon mòn san plante lòt nan plas li: konpòtman sa a ogmante chans pou gen inondasyon pi ba a. Men gen ekstènalite pozitif tou. Yon egzanp: chak yon moun achte yon telefòn nan yon konpayi, san li pa konnen, li ogmante valè telefòn lòt kliyan konpayi a te gentan achte yo paske plis gen kliyan nan yon konpayi telefòn se plis sa enteresan pou kliyan yo (tankou la, yo ap ka pi fasil kominike antre yo). Nan agrikilti, yon egzanp klasik ekstènalite se ka yon pwodiktè siwo myèl. Myèl li ap leve yo (abèy yo) kapab patisipe nan polinizasyon jaden vwazen yo.

Men sa nou ap remake, an jeneral, moun yo pwodui ekstènalite yo san yo pa menm konn sa: yo pa toujou konsyan benefis aksyon yo a oswa tout domaj li lakoz lòt moun. Sa se yon pwoblèm grav, paske moun nan lè konsa pran desizyon li yo san li pa pran ankont yon enfòmasyon enpòtan konsa. Tankou peyizan ki ta koupe pyebwa pou li jwenn plis espas pou li fè jaden nan mòn nan kapab patisipe, san li pa konnen, nan gwo inondasyon ki pral neye zòn pi ba yo lè sezon lepli ak siklòn. Kidonk egzistans ekstènalite yo fè swa gen pwodiksyon depase limit (ekstènalite negatif), swa pa gen ase pwodiksyon (ekstènalite pozitif).

Pou pwoblèm asimetri enfòmasyon an, mwen ekri yon biyè men longè sou li deja, Yo pa konn achte chat nan sak. Mwen ankouraje ou al li li, si ou pa ko fè sa.

Pwoblèm byen piblik, byen kolektif e menm byen lakomin yo, se yon lòt gwo pwoblèm ankò ki gen ti resanblans ak pwoblèm ekstènalite pozitif yo te poze a. Yon byen piblik se yon byen tout moun ka jwi gratis ti cheri e san sa pa nwi pèsonn. Tankou, lè mwen nan lari, lè mwen ap respire a m pa peye pou li e kèlkelanswa kantite lè mwen respire a, sa p ap retire yon yota sou lòt moun ki bezwen yo, yo ap ka kontinye respire alèz kou blèz. Poutèt byen piblik yo gratis ti cheri, poutèt pèsonn pa ka anpeche ou konsome yo, yo konn di yonn nan mak fabrik yo se aspè san-eksklizivite yo a. Lòt mak fabrik la se aspè san-rivalite yo a, sa vle di yon moun k ap konsome yo pa ka ankonbre lòt moun anpeche yo konsome li jan yo ta vle, pa gen ankonbreman, pa gen blokis, tout moun jwenn. 2 karakteristik sa yo bay pwoblèm paske kòm byen sa yo pa pou pèsonn e an menm tan yo pou tout moun, jan pwovèb la di a yo tankou kabrit plizyè mèt, yo ka mouri nan solèy. Gen chans pou pèsonn pa enterese pwodui yo.

Apre sa, lòt pwoblèm nan gen pou wè ak yon feblès nan chapant mache yo menm. Nou te gentan fè plizyè rale sou chapant mache yo sou kont Facebook nou an, nou p ap repete tout sa nou di deja yo. An rezime, mache yo fonksyone pi byen lè gen bonjan konkirans. Lè kondisyon sa pa verifye (tankou nan ka yon monopòl kote se yon grenn antrepriz sèlman k ap fè lalwa), sa ka ankouraje antrepriz yo montre pri yo, fè konplo pou kenbe pri yo wo, elt. Nou deja wè ki kalte pwoblèm sa ka poze.

Foto pi ba a rezime sa chak defayans mache nou sot wè yo ye, ki pwoblèm yo poze epi ki solisyon ki egziste.

Nan pwochen biyè ki ap suit biyè sa a, nou ap gen pou nou gade nan ka Agrikilti Ayiti a, si gen nan defayans mache sa yo nou ka idantifye, epi ki solisyon, ki politik agrikòl defayans sa yo ta ka jistifye, sou baz teyori nou sot wè a. Rete branche.

 

 

Nouvo sesyon, nouvo liv

Pou sesyon sa a, mwen gen plizyè liv mwen bay tèt mwen objektif pou m li ki plizoumwen gen rapò ak ekonomi. M ap pataje lis la avèk nou pandan m ap envite nou reponn yon sondaj kote nou ap di mwen kilès nan liv sa yo, omwen, nou ta renmen m ba nou yon fidbak sou li lè m fin li l. Liv ki gen plis vòt la mwen ap fè yon biyè sou li. Bon dimanch!

 

Derive: yon istwa kafe cho nan gòdèt emaye (1)

Ou lakay ou. Li fè cho deyò a, men lakay ou klimatize. 20 degre nan tout pyès kay yo nan moman an. Pou kounye a, ou nan salamanje a. Ou gen yon bèl gòdèt kafe cho cho cho sou tab la. Tanperati li se 100 degre Celcius. Lontan ou te konn bwè kafe cho anpil, bò 70 degre yo, men depi lè ou aprann bwè kafe twò cho ogmante risk pou ou devlope yon kansè nan gòjèt ou, ou fè kwa. Ou di ou ap kòmanse bwè kafe ou yo a 50 degre pito, ni pi cho ni pi frèt. Ou gen yon tèmomèt espesyal ki fèt pou bweson cho (ou achte l depi apre ou te fin boule nan yon chokola cho), men ou pa wè ou menm ki pral plede sèvi avèk li chak 3 segonn. Sa ou ta renmen pito, se konnen a ki vitès kafe ou a ap refwadi e apre konbyen tan egzakteman li ap soti nan 100 degre li ye a pou li rive nan 50 degre ou pa ka tann nan? Eske gen yon fason ou ka konnen pou chak moman ki tanperati kafe ou a?

temomet
Yon tèmomèt pou bwason ki cho

Ou konnen, tout jan tout jan, kafe ou a gen pou gen menm tanperati ak salamanje a (sa vle di 20 degre), si ou pa gentan fin bwè li. Dènye fwa a, pou ou te ka konn a ki vitès li ap vin frèt, ou te deside gade apre konbyen tan li vin frèt nèt. Ou wè sa te pran 30 minit. Sa vle di li te soti nan 100 degre pou tonbe 20 degre (ki vle di li te pèdi 80 degre) nan espas 30 minit. Kidonk, ou te konkli vitès refwadisman kafe a lè ou lakay ou se v=\frac{80}{30}= 2,66 \, degre/minit. Ositou, kòm ou te bezwen kafe 100 degre ou a pèdi 50 degre pou li ka rive 50 degre, ou kouri fè ti lojik règ an twa yo te montre ou lekòl la: si nan yon minit kafe ou a pèdi 2,66 degre, ebyen kantite minit li ap bezwen pou li pèdi 50 degre se t=\frac{50}{2,66}=18,8 \, minit . Sou baz sa ou te konkli apre 19 minit anviwon, kafe ou a ta dwe rive 50 degre, kidonk l ap cho ase san li pa depase limit.

Ou deside mete alam nan sou 20 minit ou fini pou plis prekosyon, olye 19 minit. Ou di konsa, ebyen pandan gwo 20 minit sa, ou ap tou pwofite fè yon ti rechèch sou Google pou ka wè si pa gen yon bon pwochen ki atake pwoblèm egzistansyèl refwadisman kafe a deja.

Apre plizyè minit ap antre mo kle ki pa gen rapò, ou resi tonbe sou yon atik Wikipedia ki pale sou yon swadizan Lwa Refwadisman Newton ki gen yon derive ladan. Kòm ou konn siyifikasyon derive yo depi lè ou te aprann li lekòl, kè w manke ale paske ou gentan santi ou fè yon erè, ou kouri al chèche sou Google si pa gen kèk egzanp eksperyans ki fèt deja pou gade kòman yon kafe refwadi anmezi tan ap pase, epi ou tonbe sou koub pi ba a ki di apre 20 minit, tanperati yon kafe ki te a 100 degre nan yon pyès 20 degre (tankou salamanje ou a) ap gentan desann a anviwon 30 degre! Menm kote a alam ou te mete sou telefòn ou an sonnen. Ou kouri al goute kafe a, ou dekouvri li gentan tyèd tyèd… Se pa ti dekouraje ou pa dekouraje.

Men kisa ki te pase menm ki fè kalkil ou te fè yo pa t mache? Se sa nou pral dekouvri nan biyè blòg sa a gras ak nosyon derive a, yon nosyon dimansyon wòdpòte nou te gentan esplike istwa li ak ti mesye Isaac Newton epi Leibniz yo. Nou t ap prepare teren an depi lontan tou  ak nosyon fonksyon an, montedesann ki gen nan fonksyon yo, nosyon pant lan epi limit yo pou nou te ka ofri yon bèlantre sou nosyon fondamantal sa a nan Analiz. Pwomès se dèt. Jodi a nou pral dekòtike sa ki derive a.

 

Evolisyon tanperati yon kafe 100 degre nan yon pyès 20 degre Celcius an fonksyon minit k ap pase
Sous: Ecole Polytechnique Montréal

Lojik ki dèyè derive a

Pou nou konprann sa ki pase nan egzanp kafe cho nou sot pran an, an nou gade 3 fason diferan yo konn entèprete derive a. Nou ap kòmanse ak sa ki pi pratik la pou nou ale nan sa ki pi abstrè oswa pi fòmèl la.

Premye fason nou ka imajine sa ki yon derive, se wè l tankou yon vitès. Men se pa nenpòt ki vitès. Vitès nou pi abitye avè l la se yon vitès mwayèn li ye, sa vle di jan yon deplasman fèt sou yon entèval tan. Tankou lè nou di vitès yon machin se 30 kilomèt/è, se tankou nou di, si li t ap suiv yon liy dwat, li t ap bat 30 kilomèt nan espas inèdtan. Men yon vitès mwayèn pa di nou pou entèval tan ki pi piti yo, men kòman machin nan t ap woule. Reflechi byen. Yon machin ki bat 30 kilomèt nan inèdtan te ka toujou fè ti kanpe nan wout, ralanti, epi akselere, ralanti ankò. Sèl sa ki konte, se pou li pran egzakteman inèdtan pou li bat 30 kilomèt la. Li klè 30 kilomèt/è pa yon vitès egzajere. Men sa ka toujou rive, pandan inèdtan sa a gen moman kote machin nan t ap kouri tout boulin e si se nan moman sa yo li frape yon moun, li ka tou voye moun nan nan peyi san chapo.

Vitès mwayèn nan se tankou mwayèn ou te konn fè pou yon trimès lè ou te lekòl, si ou pa pase pou trimès la sa pa vle di ou te remèt monnen nan tout matyè yo: sa ka toujou rive gen yon matyè ou te fè 100 sou 100 pou li. Kidonk vitès mwayèn nan gen enfòmasyon li pa ban nou. Se vre li di nou men kòman sa dewoule anndan yon entèval tan, men li pa di nou kòman sa dewoule achak moman, lapoula: li pa pèmèt nou konn sa ki ap pase lè pa gen entèval ditou. Tankou lè yon machin fè aksidan, sa ki plis enterese nou se pa vitès li te genyen sou yon entèval, men pito vitès li te genyen lapoula a, nan moman menm li te fè aksidan an. Lè nou di derive a kapab yon vitès la, se vitès sa a ki nan lespri nou.

Nan biyè nou te ekri sou nosyon pant lan, nou te wè pant yon dwat pa janm chanje, li toujou menm bagay la sou kèlkelanswa pati nou pran nan dwat la. Nou te sèvi ak egzanp yon mòn n ap monte ki apik. Kèlkeswa kote ou ye a, nivo apik pant lan apik la (an nou rele sa a apikite oswa panchman pant lan) pa chanje, kit ou nan pye mòn nan kit ou toupre tèt mòn nan.

Nou te wè, tank nou ap monte mòn nan, gen 2 bagay ki ap varye an menm tan: altitid nou (wotè nou parapò ak pye mòn nan) ak deplasman nou annavan (distans orizontal ki separe nou ak pye mòn nan). E pant lan se rapò premye a sou dezyèm nan ki ban nou li. Kidonk pant lan se yon mwayèn li ye tou, varyasyon altitid la sou varyasyon deplasman orizontal la. Men e si nou pa annafè ak yon liy dwat?

Reflechi byen. Gen mòn ki yon ti jan bonbe. Okòmansman pant lan ka apik apre sa tank ou ap pwoche tèt mòn nan se tank pant lan ap vin dous jouk finalman ou rive nan yon plato anvan ou tonbe desann. Li klè sa nou te rele pant lan pa fiks ankò lè sa a. Lè konsa, pant lan pa ka di nou sa ki ap pase tou de varyab yo yonn parapò ak lòt pou chak moman. Soti la al la tou pre a, pant lan gen dwa pa twò chanje, men soti nan pye mòn nan rive sou plato a gen gwo chanjman nan pant lan (sou plato a pa gen pant ditou pandan nan pye mòn nan pant lan te apik). Se sa ki fè, kounye a, pou nou kalkile pant nou an, nou oblije travay sou ti entèval piti piti si se pa sa sa p ap mache.

An reyalite, menm lè nou pa annafè ak yon dwat ankò, pati ki koube a, si nou ta zoume li alenfini, t ap rive yon kote nou t ap gen enpresyon se yon liy dwat li ye olye li yon koub. Ou ka fè eksperyans lan, trase yon koub nan yon paj kaye, rale kamera telefòn ou, ba li gwo zoum nan pati ki bonbe a epi fè foto a. Ou ap sezi wè nan foto a pati ki te bonbe a vin mwens bonbe, ou ka menm gen enpresyon li vin dwat. Kidonk, lè nou konsantre nou sou yon ti entèval zuit zuit (tèlman zuit ou sanse kapab konfonn li ak yon pwen), nou finalman jwenn yon dwat ki konfonn ak pati sa a nan koub nou an (ki vle di ang yo fòme ansanm sou entèval zuit zuit sa a li egal 0, gade nan animasyon pi ba a jan dwat n ap pale a sanble fè yon sèl ak koub la nan pwen an). Dwat sa a, tankou tout dwat, gen yon sèl pant toupatou. Dwat sa nou jwenn nan yo rele li tanjant koub nou an. Kidonk pant dwat sa a, pou ti entèval zuit zuit nou te pran an (« pwen an ») li konfonn ak pant koub nou an. Yo rele pant tanjant sa a « derive » koub la nan pwen sa a. Li klè si nou pwolonje tanjant sa a ap rive yon kote li ap detache ak « pwen » nou te pran sou koub la. Men nou kapab refè menm bagay la pou lòt pwen yo epi finalman jwenn yon tanjant pou chak pwen. Nan egzanp mòn ki genyen fòm bonbe nou te pran an, pant tanjant lan nan yon pwen, sa vle di derive a, di mwen lè mwen nan pozisyon sa a sou mòn nan, men nan ki degre mòn nan panche nan pwen sa a egzakteman.

Tanjant yon koub nan yon pwen Sous: Wikipedia

Nou sot wè 2 nan entèpretasyon derive yo: li kapab yon vitès, li kapab pant tanjant yon koub. Vitès an jeneral se deplasman parapò ak tan, men nou te ka fè menm lojik la pou kèlkelanswa 2 varyab nou pran: tanperati parapò ak tan (egzanp kafe a), popilasyon parapò ak tan (grandisman popilasyon an, nan demografi), lajan parapò ak volim pwodiksyon (resèt majinal nan ekonomi), elatriye. Se poutèt sa, olye nou di vitès, pou nou pi jeneral, nou kapab di to varyasyon pito. Kòm vitès nou ap pale a se yon vitès lapoula, enstantane, ebyen nou kapab di derive a se yon to varyasyon enstantane. Kounye a, pou nou rive nan twazyèm entèpretasyon derive a, nou kapab mande tèt nou si pa gen yon fòmil jeneral ki anglobe tout sa yo e ki ta ka tou sèvi nou definisyon nosyon derive a? Repons lan se wi. An nou gade.

Kòman yo defini vitès? Si deplasman an ap fèt sou yon liy dwat, vitès la se deplasman/(entèval tan). Si nou rele pozisyon an y, deplasman an se varyasyon pozisyon y la, si nou rele tan an t, entèval tan an se varyasyon tan t a.

vites

Sa a se yon vitès mwayèn. Nou te di derive a gen pou wè ak yon entèval tan zuit zuit, ki tèlman piti ou ta kapab menm di \Delta t vo zewo. Kidonk, vitès enstantane nou an an reyalite se yon limit li ye, limit vitès mwayèn nou an lè \Delta t  \rightarrow 0. Kidonk

vlimit

Menm jan an tou, nou te wè pant yon dwat se rapò varyasyon y la sou varyasyon x.

Pente_droite

Nou sot wè derive a se jeneralizasyon nosyon pant lan pou koub yo lè nou konsantre nou sou yon ti entèval x ki tèlman piti ou ta kapab di finalman entèval sa a se zewo. Lè konsa, pati sa nou pran nan koub la vin sanble ak yon liy dwat yo rele tanjant e pant tanjant sa a se li nou rele derive a. Kidonk, pou nou te jwenn tanjant sa a, se \Delta x  \rightarrow 0 nou te oblije fè. Dwat ou t ap jwenn si ou pa t fè \Delta x  \rightarrow 0 a t ap rele sekant, paske entèval x la t ap tèlman gwo dwat nou t ap chèche a t ap oblije koupe koub nou an nan plizyè pwen san li pa bay enpresyon li fè yon sèl ak koub la nan vwazinaj pwen ki enterese nou an. Dènye pwen sa enpòtan, se li ki pèmèt nou distenge sekant ak tanjant, paske anyen pa anpeche yon tanjant koupe yon koub nan plizyè pwen menm jan ak yon sekant. Kidonk, pou nou retounen, pant tanjant lan se:

mlimit

Sou baz de fòmil sa yo, nou kapab pwopoze yon fòmil jeneral pou yon fonksyon y=f(x) an jeneral. Varyasyon y la se \Delta y=\Delta f=y-y_0=f(x)-f(x_0). Si entèval x nou pran an soti nan x_0 ale nan yon x kèlkonk, ebyen nou genyen \Delta x=x-x_0. Derive a nou ap jwenn li lè \Delta x \rightarrow 0, osnon nou te ka di tou (x-x_0) \rightarrow 0 \Rightarrow x\rightarrow x_0 .

derivef

Tout fòmil sa yo defini menm bagay la: nosyon derive a nan yon pwen pou yon fonksyon f(x).

Yo konn note valè sa nou jwenn nan plizyè fason. Gen omwen 5 fasonprim

Premye a se notasyon Lagrange lan, dezyèm nan ak twazyèm nan se Leibniz ki vin ak yo, katriyèm nan se notasyon Newton nan (nou plis jwenn li nan domèn fizik), dènye a se Euler ki te konn itilize l. Gen plizyè lòt notasyon ankò (sitou pou fonksyon plizyè varyab yo), men sa ki enpòtan se konnen tout sa nou sot bay yo vle di derive yon fonksyon (f) nan yon pwen (x_0) parapò ak yon varyab (x).

Lè li posib pou nou jwenn yon fonksyon ki di nou pou kèlkeswa pwen x_0 nou chwazi anndan yon domèn, men konbyen derive fonksyon an ap bay nan pwen sa a, yo konn an nik mete x nan plas x_0 a pou montre fwa sa nou annafè ak yon fonksyon derive. Egzanp, Lwa Refwadisman Newton nan se yon fonksyon derive li ye. Li di nou pou chak tanperati yon objè omojèn (nou te sipoze kafe cho a omojèn) ki ap refwadi rive pran, men ki vitès refwadisman li nan moman li rive nan tanperati sa a. Nan egzanp kafe nou an, si $latex T_{kafe}(t)$ se tanperati kafe a an fonksyon tan an epi $latex T_{salamanje}$ se tanperati salamanje a, yon valè fiks, ebyen lwa refwadisman Newton di nou achak moman men ki vitès refwadisman kafe a:

kote \alpha se yon koyefisyan refwadisman ki pran yon valè fiks nan eksperyans lan. Nou kapab remake valè derive a (ki vle di vitès refwadisman an) pa fiks, li fonksyon tanperati kafe a ki li menm ap dekwat anmezi tan ap pase.

Kidonk nou kapab wè operasyon nou rele derive a gen yon dimansyon wòdpòte paske nenpòt kote ki gen yon fonksyon ki konekte varyab ak lòt varyab, gen posiblite pou nou foure yon derive ladan. Men nou bezwen konnen plis sou fonksyon derive yo anvan nou kòmanse sèvi ak li, nou pa ka ap antre nan won san baton. Nan seksyon ki vin apre a, nou pral dekouvri kèk mak fabrik fonksyon derive a, jan ou kapab jwe avèk li, sou ki kondisyon. Sa ou panse si nou kite derive a prezante tèt li poukont li epi ban nou règ jwèt la dirèkteman pito?

Non pa m se derive

Nan seksyon sa a nou pral fè konesans. Ou pral sezi wè lè ou pot fonksyon yo ban mwen kisa m fè yo, men tou sou ki kondisyon m ap dakò jwe jwèt la.

Premye bagay pou ou byen konnen sou mwen, mwen se limit yon fonksyon oswa yon ekspresyon. E tankou tout limit, mwen gen lè m, swivan fonksyon ou pote ban mwen an. Gen fonksyon ou ap pote ban mwen, m ap nik di ou non m pa kapab. Gen lòt fonksyon m ap asepte, men m ap di w gen kèk zòn nan fonksyon sa a ki se zòn nondwa pou mwen, m pa pral la. Espesyalman, gen yon kondisyon mwen pa negosye si ou vle mwen travay sou yon fonksyon oswa sou yon pwen anndan yon fonksyon pou ou: se kesyon kontinite a. Kreyonomi te gentan esplike nou sa sa ye. Men m ap fè yon ti rapèl pou moun pa di si yo te konnen.

Kontinite se lè pa gen okenn twou nan fonksyon an, ki vle di ou ta kapab trase koub li a sou yon kaye san ou pa oblije leve men yon kote apre sa pou w kontinye. An jeneral, pou gen kontinite nan yon pwen, fòk limit fonksyon an nan pwen sa (nou sipoze li egziste) egal valè fonksyon an nan pwen sa.

\lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)

Ou vle m montre ou depi m yon kote, kontinite pa ka pa la? An n ale!

An nou di mwen menm f'(x) mwen egziste nan yon pwen x=a. Sa vle di derive a bay yon nonb fiks e nou kapab ekri, dapre definisyon mwen an:

Men ti fraksyon nou wè ki apre limit la, ou kapab remake si mwen miltipliye li pa (x-a) ap rete nimeratè a sèlman e si apre sa mwen ajoute f(a) sou sa ki rete a (nimeratè a), ebyen f(a) yo prale ap rete f(x) sèlman. Kidonk, m ta kapab ekri f(x) konsa:

Alèkile, mwen p ap fache si ou mande m pouki tout vire won sa a. Ebyen pa bliye nan definisyon kontinite a te gen yon limit f(x) ki te egal yon limit f(a). Kounye a si ou gade fòmil nou sot jwenn pou f(x) la ou ap wè agoch gen f(x) adwat gen f(a), ki vle di tout jwè nou bezwen nan egalite ki defini kontinite a yo tout sou teren. Li rete pou nou mete balon nan pye yo, balon sa pa lòt, se operasyon limit la. Si nou aplike limit lè x ap pwoche a pou chak bò ekwasyon ki pi wo a, men sa nou ap jwenn:

Kounye a si adwat la nou fè limit la antre, nou ap jwenn:

Toujou nan bò dwat la, premye limit la nou konnen l, se mwen an pèsòn-derive a-,dezyèm limit la lè nou bay x valè ap L ap égal zewo, epi finalman twazyèm limit la se limit yon konstant (f(a) ) l ap egal konstant lan ankò. Boutanfen,

Dènye espresyon nou ankadre a pwouve fonksyon f la kontini vre nan pwen a a jan nou te anonse sa. Kidonk, ki di yon fonksyon derivab, di fonksyon sa kontini paske depi yon fonksyon pa kontini, derive li pa ka egziste. Men kounye a, kesyon m gen pou ou? Eske sa vle di depi fonksyon an kontini li derivab otomatikman? Pran ti tan reflechi sou sa pandan m ap kite Kreyonomi repran kòn nan.

Derive ak kontinite: yon lanmou a sans inik

Nan matematik, depi ou di tèl sitiyasyon enplike yon lòt sitiyasyon sa pa otomatikman vle di lòt sitiyasyon sa a enplike premye a. « A\Rightarrow B » pa vle di « B\Rightarrow A« . Baze sou premye a pou kouri konkli dezyèm nan se yon fot, yon sofis, yon erè lojik ki pote non afimasyon konsekan an, ki vle di ou fè yon konsekans pase pou yon koz. Bon, nòmalman se pa sèl nan matematik sa (ta dwe) konsa, men sa rive souvan nan rezònman moun ap fè depi ou di A\Rightarrow B moun kouri sipoze B\Rightarrow A tou…Ou vle yon prèv? Chaje nan medya yo ak anba bouch politisyen yo…Bon, men yon egzanp yo konn pran pou montre poukisa se yon erè.

Si yo di w depi lapli tonbe atè a ap mouye, epi kòm ou wè atè a mouye, ou baze sou sa sèlman pou ou konkli lapli te tonbe, ou fè yon fot rezònman paske atè a ki mouye a pa sifi pou ou konkli lapli a te tonbe (gen lòt rezon ki te ka esplike sa). Sa pa vle di sa ou di a pa vre non (sa ka rive lapli te tonbe vre), paske menm yon fo rezònman ka bay bon rezilta (pwofesè k ap korije egzamen konn reyalite sa byen).

Kidonk, pou nou retounen sou koze relasyon ki konekte derivablite ak kontinite a, sèl sa nou pwouve pou kounye a se derivab \Rightarrow kontini, nou pa pwouve kontini \Rightarrow derivab. E nou pa t ap kapab pwouve li nonplis, paske gen egzanp fonksyon ki kontini byen pwòp nan yon pwen epoutan yo pa derivab nan pwen sa a. Bon sa ki pi rèd la (gen moun ki dezòd wi), Karl Weierstrass, yon kokennchenn matematisyen alman, te menm jwenn egzanp yon seri fonksyon ki kontini toupatou, nan tout kò yo, epoutan yo pa derivab okenn kote ditou! Nou ap depoze seri fonksyon sa yo la pou listwa (se yon fonksyon lè ou trase li ki sanble ak yon pil madjigridji kote chak pati se yon madjigridji ankò, tankou yon fraktal):

Yon reprezantasyon fonksyon Weierstrass la Sous: Wikipedia

Mwen mize sou egzanp sa a nonsèlman paske li enteresan men tou paske li montre jan mwen fonksyone. An jeneral, depi koub yon fonksyon gen kote li pwenti (tankou yon V oswa yon \wedge m pa bezwen konnen si fonksyon an kontini, mwen pa annafè ak kote ki gen pwent yo. Derive pa danse kole ak pwent sa yo nan yon fonksyon (dayè gad fonksyon Weierstrass la, se pik sèlman ki fè l, Henri Poincarré te rele fonksyon sa yo mons e li te gen rezon). Sandipetèt, ka ki pi senp fonkson ki gen mòd pwent sa yo se fonksyon valè absoli a,

Fonksyon valè absoli x la          Sous: Wikipedia

Fonksyon sa a kontini toupatou, ni nan 0 kote ki gen pwent lan. Men si nou byen sonje entèpretesayon jewometrik derive a, nou ap wè ozalantou x=0 a menm si mwen ta zoume l zoume l zoume l, m p ap janm jwenn koub la vin sanble ak yon dwat, li ap toujou genyen fòm pwenti a. Se vre gen yon dwat (orizontal) ki touche koub valè absoli a nan yon sèl pwen nan vwazinaj x=0 a, men nou pa ka rele li yon tanjant paske dwat sa a pa fòme yon ang ki egal 0 avèk koub la, koub la pa konfonn ak li nan vwazinaj x=0 a. Kidonk li pa ban nou okenn enfòmasyon sou konpòtman koub la nan vwazinaj pwen sa a, an reyalite se jis kwaze yo kwaze, men yonn pa konn lòt. Kidonk derive a pa egziste nan zòn ki pwenti a. An jeneral, gen 2 kategori zòn pwenti sou yon koub yo konn distenge, nan tou 2 ka sa yo derive a p ap egziste. An nou dekouvri yo.

Yon ang ki mennen nan chimen pwennfèpa

Anvan mwen prezante yo, m ap raple derive se yon limit li ye, tankou tout limit ou kapab idantifye yon limit adwat ak yon limit agoch. Pou chak limit yon sèl bò sa yo ou ap jwenn yon rezilta ki kapab menm oswa diferan. Yonn kapab egal enfini oswa yon nonb fiks. Si li bay yon nonb fiks, nonb fiks sa a se pant yon tanjant li ye, men kòm se sou yon sèl bò nou ap travay yo pa rele dwat la tanjant, yo rele l demitanjant pito.

Nòmalman, pou limit global la egziste, fòk tou 2 limit yon sèl bò yo egziste (egal yon nonb fiks) e fòk yo egal. Egal la vle di tou, tou 2 demitanjant yo ap menm, yonn ap konfonn ak lòt e ang yo fòme ansanm nan ap egal zewo. Se lè sa a nou kapab di derive a egziste nan pwen sa a. Ebyen an nou gade kisa ki pase tout bon lè nou gen yon zòn ki pwenti nan koub yon fonksyon. Nan desen ki pi ba a (se sou nèt la mwen pran l wi, tanpri souple, se pa mwen ki fè l…), nou kapab wè kote ki gen pwent lan kote 2 demitanjant yo (ble a ak vèt la) fòme yon ang olye yo konfonn, kidonk derive a pa egziste la (tankou nan ka valè absoli a).

An jeneral, nou ap distenge 2 tip zòn pwenti nan yon koub: pwen ang yo ak pwen rebwousman yo (souvan, n ap rele yo pito pwen pwennfèpa oswa pwennfèpa senpman).

No comment.

Pwen ang yo ou jwenn yo lè 2 demitanjant yo egziste men yo diferan (lè konsa yo fòme yon ang) oubyen lè se yon sèl ki egziste. Pwennfèpa yo menm, yo pa mennen ou nan okenn demitanjant (pant yo enfini), se tankou yon enpas, e lè ou ap soti ladan yo ou gen enpresyon ou pran direksyon opoze ak direksyon ou te pran lè ou t ap rantre a (se tankou ou te kase tèt tounen). Pou nou pi presi, ou gen yon pwen rebwousman oswa pwennfèpa se lè derive agoch la ak derive adwat la yonn bay plis enfini lòt la bay mwens enfini nan pwen an.

Pou egzanp pwen ang yo, nou te wè valè absoli a ak egzanp yon pwen nan yon koub kote gen yon ang ki fòme nan pwen sa a ant 2 demitanjant diferan. Pou egzanp pwen pwennfèpa yo, nou kapab jwenn kèk nan reyalite a. Yonn nou renmen anpil se egzanp kadyoyid la (yo rele li konsa paske li gen yon fòm kè). Nou kapab kreye li tou ak 2 sentant kòb pandan yonn ap woule sou lòt la oswa gras ak yon efè optik (yo rele fòm sa yo kostik) nan yon tas oswa nenpòt veso won tankou yon ti chodyè (gade dezyèm imaj la). Nou gen pou nou ajoute yon foto nou fè apati eksperyans pa nou, ret branche.

Lojik konstriksyon yon kadyoyid. Sous: Wikipedia
Yon kadyoyid nan reyalite a. Sous : StackExchange

Sa w panse si ou siprann yon zanmi w, mennaj ou oswa mari ou/madanm ou ak yon sikloyid pandan ou ap ofri li yon tas kafe? Anka pa ka se ta ti boubout la, ou pa janm konnen, li ka twouve w jènjan tankou Edward Nygma nan Gotham. 😉

Fen yon kòmansman

Bon nou fin antre nan nannan derive a, nan yon pwochen biyè ki ap dezyèm pati biyè sa a, nou pral wè lòt aspè ak kèk pwolonjman nosyon an (kalkil sou derive yo, derive pi wo degré yo, derive plizyè varyab, derivasyon vektoryèl, derivasyon konplèks, elt.).

Annapre nou ap gen pou nou dekouvri  dividal aplikasyon zouti sa a nan plizyè domèn (espesyalman nan ekonomi) ansanm ak richès nosyon sa a. Rete branche. Kite yon kòmantè pou nou si ou gen yon ti tan.

Fanm yo se moun

Mwen deside kreye yon kategori tèks opinyon sou aktyalite peyi a. Menm jan ak Howard Zinn, mwen kwè koze pwofesè, ekriven, jounalis, syantifik oblije rete net la se yonn nan pil ide tou fèt yo konvenk nou pou nou repete tankou jakorepèt paske lè konsa elit ekonomik yo ak klas politik la ka kontinye viv kè pòpòz. Netralite mwen ap pale la a, ki te ka plis rapwoche sa yo rele endiferans parapò ak gwo deba sosyete yo, pa dwe konfonn ak netralite aksyolojik la ki limenm se yon atitid ki enpòtan anpil pou bon pratik lasyans. Ernst Jean fè yon bèl rale sou diferans sa a nan yon biyè li ekri sou nosyon netralite aksyolojik la. Antouka, kit se atik opinyon kit se atik vilgarizasyon syantifik (distenksyon an ap toujou klè), lektè yo kapab kontinye konte sou bon jan analiz ekonomik ki ap toujou jarete biyè Kreyonomi yo.


fanm se moun

Sa pa gen twò lontan, Natacha Clergé nan yon atik Le National te envite nou fè yon paryaj. Li te di nou, sandipetèt, premye minis nou an pa fouti yon fanm. Epoutan, kòmansman 2017, epòk diskou envestiti #NègBannann nan (ki depi lò a vin tounen #NègPwomès la) pèsonn pa t ap pèdi jekwazandye li fè yon paryaj konsa. Paske Nèg Bannann nan te pwomèt nou aksyon administrasyon li a pral ankouraje parite fanm gason…Antouka, dènye premye minis li deziyen an se yon gason. Men sa pa ka fè nou pantan, nou te gentan konnen sitiyasyon fanm yo nan peyi a. Kidonk, se pa premye minis gason yo deziyen an ki pral choke nou (se pa la pwoblèm nan ye). Sa ki plis deranje nan peyi manman libète a, se pito absans fanm menm nan lis moun ki te premyeministrab yo pandan swadizan negosyasyon ak fòsviv nasyon an.

jomo

Jan blòg La loi de ma bouche la te gentan montre sa, lè se pa jounalis ki bliye si fanm se moun tou epi ki mal tradui pawòl yon onorab, se otorite yo ki bliye si gen fanm nan peyi a ki te ka nan lis moun ki te ka premye minis yo. Sitiyasyon sa a raple nou kèk stati fanm nou jwenn Ottawa ki selebre viktwa avanyè la (an 2009) 5 fanm vanyan ki te oblije konvenk Lakou siprèm Kanada « fanm yo se moun« , yo fè pati « moun kalifye » ki te ka nan Sena a.

Si prezans ti mal nou yo prèske kreve je nou tèlman yo toupatou sou sèn piblik la, sa pa anpeche nou ka poze tèt nou kesyon sou diferans sa kapab fè toutbon lè fanm yo pi prezan nan pòs desizyon yo. Dayè, sa pa gen twò lontan, Mèt Vita Pierre te pote kèk pwen nan deba a ki ede nou al pi lwen pase senp kesyon kota 30% fanm nan nan sèvis piblik yo dapre konstitisyon amande a-nan yon peyi kote gen plis fanm pase gason, nan yon peyi tou kote dènye resansman popilasyon an resi lanse an 2017 apre 4 lane reta.

Kesyon Vita Pierre vin avèk yo a enteresan. Yo fè nou mande tèt nou, nan yon sosyete kote gason genyen kontwòl pouvwa a, èske pa gen risk pou kota pa depaman ak achte nan sak bouda kreve. Eske fanm ki nan gwo pòs yo, ki dapre li souvan se madanm yon gason ki gen non, p ap senp fotokopi? Eske lè nou panse se fanm k ap dirije nan ti espas 30% kota minimòm nou rezève pou yo a, se pa menm dominasyon gason yo ki ap kontinye atravè fanm sa yo? Eske gen yon lidèchip fanm? Ki mak fabrik li?

Nou pa gen gwo tanta nan pwen pou nou ta pretann nou pral reponn tout kesyon sa yo. Nou ap jis pran yon egzanp teren ki soti nan peyi Lend. Kòmdefèt, kesyon sa yo gen chèchè ki te chèche reponn yo deja e repons yo jwenn yo pote eleman ki kapab pèmèt nou pwofonde kesyon sa yo. Nou jwenn istwa sa a nan liv Repenser la pauvreté a, Esther Duflo ak Abhijit Banerjee ki ekri l.

Nan peyi Lend, gram panchayat yo (Konsèy Vilaj) se yon sistèm politik kote se eleksyon lokal ki plase manm yo. Kidonk se yon apwòch desantralize. Pwoblèm ki konn poze nan nivo sa a, menm jan yon oligachi gen tandans vòlè pouvwa popilasyon an nan echèl ki pi wo yo,  se koze pou se toujou yon ti ponyen moun ki ap pale, aji, patisipe pandan rès moun yo silans, inaktif oswa pa patisipe nan desizyon yo. Fanm yo ak sila ki nan minorite etnik yo souvan viktim dappiyanp ti gwoup sa yo fè sou pouvwa a. Yonn nan fason pou konbat pwoblèm reprezantasyon oswa patisipasyon sa a se aplike yon kota. E se prensip sa menm yo aplike nan kèk Konsèy Vilaj endyen yo.

Se konsa yo konn rezève pòs direksyon pou fanm yo ak minorite yo. Alèkile, nan ane 2000 yo Esther ak Raghabendra Chattopadhyay t al chèche konnen si fason fanm yo dirije a diferan parapò ak fason gason yo dirije. Men tout moun te gentan di yo se lave men siye atè, yo p ap jwenn okenn diferans serye paske mari medam yo sèvi avèk yo pou kontinye dirije. Yonn nan egzanp yo te pran pou kore sa yo di a, se yon seri pankat kanpay elektoral pou medam ki kandida yo kote foto mari medam sa yo te plis parèt pase foto fanm nan li menm…Dapre popilasyon an, dirijan fanm sa yo se fotokopi. Men chèchè yo te fè tèt di yo kontinye rechèch la kanmèm. Yo te sezi wè gen gwo diferans ant politik medam yo ak pa mesye yo, kontrèman ak sa moun yo te anonse.

Tankou, nan yonn nan Eta yo, chak 5 an, yon Konsèy Vilaj sou 3 yo chwazi konsa konsa, se sèl fanm ki ka patisipe nan elekesyon pou vin dirijan vilaj la. Chèchè yo dekouvri lè se tou pa medam yo gen plis envestisman ki fèt nan enfrastrikti ki kapab chanje lavi medam yo dirèkteman (tankou wout ak dlo potab). Gen yon lòt eta menm ki gen repitasyon yon eta ki matchis anpil, kote bezwen medam ki ladan yo se te plis pou dlo potab alòske mesye yo te plis vle konstriksyon wout, chèchè yo dekouvri lè se fanm ki dirije vilaj yo gen plis depans ki fèt vre pou dlo potab pase konstriksyon wout. Lòt rechèch ki fèt nan peyi Lend sanble konfime tandans sa: priyorite medam k ap dirije yo pa toujou menm ak pa gason yo.

Rezilta sa yo kanmèm ede nou konprann enpòtans pou gen plis fanm k ap pran desizyon politik nan peyi a, menm si nou pa ka dekonekte rezilta yo totalman parapò ak sosyete peyi Lend lan, ki konplèks anpil e ki gen mak fabrik li. Si nou kontinye mete mwatye popilasyon an deyò wonn nan nan espas kote gwo desizyon yo ap pran, nou dwe pare tou pou nou pote chay sosyete miwo miba politik nou yo ap kreye yo. Plis divèsite nan espas politik yo kapab, menm si se pa yon resèt mirak (egzanp Lend lan montre sa tou…) pèmèt lòt mwatye popilasyon an jwenn solisyon pou pwoblèm ki ap afekte li yo. E anpil nan pwoblèm sa yo, menm si tout moun konnen yo, se pa tout moun ki viv yo…

Limit : yon istwa lajan sere (2/2)

Limit yo se nannan Analiz matematik la, paske yo parèt nan definisyon ni derive yo ni entegral yo. Nan atik sa a nou pral wè sa yo ye, kòman yo fonksyone epi ki mak fabrik yo. Anvan sa, n ap fè yon diskite sou istwa konsèp sa a pou nou ka byen chita kontèks la.

Kontèks

Genyen nan algoritm ansyen grèk yo, espesyalman pa Héron d’Alexandrie a pou jwenn rasin kare yon nonb (metòd babilonyen an), pa Archimède la pou jwenn valè pi, ki chita sou lide sa: tank ou ap vanse nan kalkil la, se tank ou ap pwoche yon rezilta fiks.

Genyen Pierre Fermat tou ki t apral menm fè operasyon aritmetik sou yon nonb ki pre pre pre zewo san li pa janm  egal zewo (yon kantite enfinitezimal). Newton ak Leibniz te fè ti eseye tou, men se matematisyen Augustin Cauchy ki pral premye sèvi ak yon definisyon strik nosyon limit la san li pa fòmile l tankou yon definisyon. An reyalite se Bolzano avèk Weistrass ki t apral pwopoze premye definisyon fòmèl e jeneral pou nosyon limit la. Sepandan, apwòch nonb enfini ak nonb enfinitezimal la toujou enteresan e nan 20yèm syèk la (apati ane 60 yo) gen yon branch nan matematik la ki devlope, analiz non-estanda, ki tabli baz fòmèl (nonb sireyèl ak ipèreyèl yo) pou etidye nonb sa yo.

Yon premye definisyon ki chita sou bon sans

An nou pran yon bèl ti egzanp nou jwenn nan woman LE THÉORÈME DU PERROQUET a (se Denis Guedj ki ekri l).

Imajine ou pa t menm sou sere kòb ou labank. Men kounye a nan kad yon piblisite, ou aprann Bank Tibwatsekrè, pou li ka ankouraje moun ouvè yon kont lakay li, deside bay yon enterè konpoze 100% depi yon moun depoze 1 Goud pou louvri yon kont. Lojik enterè konpoze a se: chak tan yon peryòd rive, y ap aplike enterè a ni sou manman lajan okòmansman an ni sou enterè ou te rive sanble pandan peryòd anvan yo. Tankou la, an nou di manman lajan an se M (an nou di M=100 Goud) epi an nou sipoze se chak ennan yo ajoute enterè yo pou ou (E=t%*M, kote t se to enterè a: an nou di to a se 1%, kifè E ap egal 1 Goud apre ennan). Apre ennan, ou rive sanble M+E=100+1=101 Goud. Lojik enterè konpoze a mande pou nan fen dezyèm ane se 101 Goud la y ap pran pou nouvo manman lajan an, li p ap 100 Goud ankò, kifè enterè pral ajoute ni sou premye manman lajan an ni sou enterè ou te rive sanble anvan an. Bèl afè, sa ou di!

Li sanble klè, nan yon lojik konsa, plis peryòd la kout (an nou di olye li chak ennan, li te chak 6 mwa pito), manman lajan an ap gwosi pi vit paske yo ap ajoute enterè yo pi souvan. Kounye a, sèl kesyon ou ap poze tèt ou parapò ak « piyay » Bank Tibwatsekrè di l ap bay la, se chak ki peryòd yo ap aplike enterè sa yo! Pandan reklam nan ap fini konsa, ou tande yo di yo pare pou yo negosye nenpòt ki peryòd ki pi kout pase ennan avèk kliyan yo! Ou sezi, ou tou wè yon okazyon pou ou vin rich. An bon entèlijan, ou di ou pral negosye peryòd ki pi piti yon moun te ka imajine a: minit, segonn, 1/10yèm segonn,  ou pa konnen. Toutan ou ka desann pi ba nan negosyasyon an w ap desann pi ba paske konsa ou ap milyonè pi rapid.

Se la ti sè w la Jowàn, ki fò anpil nan matematik, di w poze san w pou w bwè yon mabi 50. Li di w menm si ou ta rive negosye peryòd ki pi zuit posib la, ou p ap janm milyonè. An reyalite, menm apre yon pil tan pase, ou ap sèlman anviwon 2,718 fwa pi rich! Kòm se yon Goud ou t apral plase labank lan, menm lè ou ta deside kite l travay jiskaske ou ti granmoun, ou p ap menm rive sanble 3 goud: kòb ou a p ap janm depase 2,719 Goud. Ou di sa k ap pase konsa, ou pa vle kwè, ou mande l kote li bare ak sa li di a. Epoutan, ti sè w la gen rezon.

Se vre kòb ou a ap ogmante anmezi peryòd la ap pi kout, men ogmantasyon sa a ap diminye ofiramezi tou. An nou pran egzanp sa ki pase tank ou ap redui peryòd la pi ba pase ennan. Apre ennan, kòm to enterè a se t=100%, 1 Goud ou a t ap rapòte w 1 Goud enterè. Lè sa a, nouvo manman lajan an t ap 2 goud. Men si peryòd la se 6 mwa, sa vle di mwatye ennan, se tankou to enterè 100% an te divize an 2. Kidonk, apre premye 6 mwa a, ou t ap fè: M+E1=1 Goud+ 50%1 Goud=1,5 Goud. Kòm 1,5 Goud sa se li kounye a ki nouvo manman lajan an, apre dezyèm 6 mwa a ou t ap sanble: M1+E2=1,5 Goud+ 50%1,5 Goud=2,25 Goud! Li klè, apre ennan, si peryòd la se 6 mwa, ou rive fè plis kòb (2,25 Goud), pase kantite kòb ou t ap fè si peryòd la te ennan (2 Goud).

Men gade sa ki  t ap pase si, olye peryòd la se chak 6 mwa, li te chak 3 mwa pito. Kòm genyen  4 trimès nan yon ane, enterè 100% an t ap divize pa 4 e enterè a t ap aplike 4 fwa. Finalman, manman lajan an t ap vin egal 2,44 Goud apre ennan, ki toujou pi wo pase sa nou te jwenn lè peryòd la te ennan an. Li pi gwo tou pase sa nou te jwenn lè peryòd la te 6 mwa a. Men sa nou remake, pandan peryòd 6 mwa a te fè nou soti nan 2 goud al nan 2,25 peryòd 3 mwa a pa pwovoke yon pi gwo ogmantasyon pase sa. Si nou te fè l chak mwa, nou t ap jwenn manman lajan an vin egal 2,61 apre ennan; si nou te fè l chak jou, manman lajan an t ap vin 2,71 elt. Kidonk, plede redui peryòd la, se vre li fè manman lajan an vin plis achak fwa, men tank ou ap redui peryòd la se tank diplis la ap vin pi piti.

Matematisyen yo rive montre si ou ta kontinye redui peryòd la nètale, alafen gen yon nonb fiks ou t ap rive sou li ou t ap bloke, kòb la pa t ap ogmante ankò. Nan egzanp nou an, nonb sa a yo rele li nonb Euler a, li se: [e]= 2,71828182845904… (kantite chif ki apre vigil la enfini). Kidonk, ti sè w la te gen rezon: pi bon negosyasyon ou ka fè ak Bank lan t ap sèlman fè w vin « e » fwa pi rich!

Fòmil jeneral pou kalkile valè manman lajan an Mk apre k peryòd anndan yon ane se

Alèkile, nou sot wè si M=1 Goud epi t=100%, menm si  k (kantite peryòd la) ta vin enfini, Mk (manman lajan final la) p ap janm depase [e] (nonb Euler a). Yon fason senp matematisyen yo konn ekri sa se :

lim nan vle di Mk, manman lajan an, ap vin sitèlman pre chif yo rele [e] a, ou ta ka di yo egal menm si yo pa ta egal vre, lè kantite peryòd la (k) vin anpil anpil anpil.

An jeneral, pou nenpòt ki fonksyon, nou ka aplike lide limit sa a. Se konsa

vle di nenpòt jan ou ta vle f vin toupre L, sa ap posib, anmezi x ap pwoche a. Yo li l konsa : « limit f de x lè x ap pwoche a egal L. »

Gen 2 fason [x] la ka pwoche [a], swa li ap soti nan valè ki pi piti pase [a] yo pou l al jwenn li (lè konsa yo di li ap pwoche [a] agoch) swa li ap soti nan valè ki pi gwo pase [a] yo (lè konsa yo di li ap pwoche [a] adwat). Lè li ap pwoche [a] agoch, rezilta nou jwenn pou limit lan yo rele li limit agoch, menm jan an tou pou bò dwat la rezilta a ap rele limit adwat. Si nou annik di limit yon fonksyon egal L san nou pa presize, sa vle di rezilta a pa chanje kit se sou bò dwat kit se sou bò goch.

Men definisyon sa a, ki chita sou bon sans, li yon ti jan vag lè ou byen gade. Gen kèk espresyon li itilize ki yon ti jan flou, tankou kesyon « ap pwoche » a. Kisa sa vle di menm? Eske sa ki ap pwoche yo oblije vin egal pou sa?  Lè nou di limit f egal [L] la, sa nou vle di egzakteman? Se poutèt sa, Cauchy, Bolzano ak Weistrass te vin sèvi ak yon definisyon ki pi presi ki pèmèt nou evite konfizyon sa yo.

Yon definisyon ki pi presi

Gen yon fason ki pi presi nou kapab defini limit yon fonksyon. Anvan nou prezante l, n ap sonje kisa valè absoli ye. Si 0 se referans nou sou yon aks, valè absoli yon nonb reprezante distans ki separe li parapò ak orijin nan ki se 0, kit nonb lan pozitif kit li negatif. Kidonk, si nou di

sa vle di distans ki separe [x] ak orijin nan pi piti pase 3, egzanp, [x] kapab -2,5 oswa 2,9 sa p ap pwoblèm. Men [x] pa kapab -3,2 oswa 3,9 oubyen nenpòt lòt chif ki pi piti pase -3 oubyen ki pi gwo pase 3. Yon lòt bò, si (x-3) se eka ki genyen ant [x] ak 3 (eka sa a kapab pozitif li kapab negatif), lè sa a

se distans ki separe [x] parapò ak 3 e li toujou pozitif. Lè nou di |x-3|<d, sa vle di x ka nenpòt kote agoch oswa adwat 3 depi distans ki separe yo a pi piti pase [d] (pi ba a nou rele distans sa a « delta » pito). Se tankou nou te kreye yon ankadreman pou [x], e an jeneral

Nan menm lojik la :

Sa vle di, distans ki separe f ak [L] toujou pi piti pase epsilòn (oswa [e], pou pi senp) epi pou respekte distans sa a li sifi pou pran f nan entèval ki soti nan (L-[e]) a pou ale nan (L+[e]) a. Li klè, toutotan  [e] piti, se plis f ap pre L. Kidonk nou jwenn yon fason pou nou note lide « f ap pwoche [L] » la ansanm ak lide « [x] ap pwoche [a] a ». Sonje lè nou te di [x] ap pwoche [a] a nou pa t santi li te oblije egal [a] pou tandans limit la parèt tèt li, kidonk |x-a| mèt pi gwo pase zewo. Nan menm lojik la, nou pa bezwen pou f egal [L] pou nou santi tandans limit la. Kounye a nou gen zouti pou nou defini limit la.

Sonje kisa nou ap chèche eksprime : si nou di limit yon fonksyon f bay [L] lè [x] ap pwoche [a], se tankou nou bay garanti kèlkelanswa ti distans yon moun ta ka imajine ki separe f avèk [L], nou ap ka toujou jwenn yon seri valè [x] ki pa lwen [a] ki pèmèt f pran valè nou di ki toupre [L] yo. Si nou pa ka jwenn seri valè sa yo pou [x] (sa vle di yon entèval pou [x] ozalantou [a]), ebyen nou pa ka di limit f egal [L]. Tout sa nou sot di la yo nou ka ekri li pi senp ak operasyon valè absoli a :

Sa ka parèt yon ti jan abstrè, men se egzakteman sa nou te esplike anvan an nou ekri la…Verifye pou w wè.

An jeneral, se ak definisyon sa a yo sèvi pou demontre teyorèm nou prezante pi ba yo, ki ban nou yon seri operasyon nou kapab fè sou limit yo (adisyon, miltiplikasyon, divizyon,…). Yo itil anpil pou kalkile limit yo.

Yon lòt avantaj definisyon sa genyen, li tou fè nou wè limit yon fonksyon pa oblije egziste. Kòmdefèt, si nou pa ka jwenn yon valè pou delta ki garanti f ap toupre L, limit lan pa egziste. San nou pa antre nan detay, genyen 2 gwo fason yon limit kapab pa egziste: 1)omwen yonn nan limit adwat oswa agoch yo pa egziste 2)limit agoch ak limit adwat egziste men yo pa egal. « Pa egziste » ka vle di anpil bagay men yonn nan ka ki konn enteresan se lè vale nou jwenn pou L la an reyalite li enfini (ki vle di, nou pa jwenn okenn valè fiks vre).

Teyorèm sou kalkil limit yo

Teyorèm limit yo senp. Nou pral eksprime yo an pawòl pito olye nou sèvi ak fòmil.

  1. Adisyon: Limit adisyon 2 fonksyon se menm ak adisyon limit chak fonksyon sa yo.
  2. Konstant: Limit yon konstant egal konstant lan ankò.
  3. Miltiplikasyon: Limit miltiplikasyon 2 fonksyon egal miltiplikasyon limit chak fonksyon yo.
  4. Divizyon: Limit yon divizyon de fonksyon egal divizyon limit chak fonksyon sa yo, depi rapò final la gen sans (depi denominatè a pa egal zewo).
  5. Radikal: Limit rasin n-yèm yon fonksyon egal rasin n-yèm limit fonksyon an, depi sa gen sans.

Lenfini

Gen 3 ka nou kapab distenge.

  1. Swa fonksyon an ap pwoche yon nonb fiks (L) pandan x ap pwoche enfini: lè konsa yo konn di [y]=[L] sa a se yon asentòt orizontal.
  2. Swa fonksyon an pike al jwenn lenfini pandan x ap pwoche yon nonb fiks (a): lè konsa yo konn di [x]=[a] se yon asentòt vètikal
  3. Swa ni f ni x ap pwoche lenfini.

Limit ak kontinite

Gen anpil bagay nou ta ka di sou kontinite a, men n ap konsantre nou sou kèk pwen enpòtan sèlman, Kontinite a gen pou wè ak lide kòmkwa ou ta kapab trase yon koub alamen san ou pa oblije leve plim nan oswa kreyon an sou kaye a. Sa vle di koub fonksyon an pa gen twou ladan. Gen yon lyen sere sere ant limit ak kontinite. Pou yon fonksyon kontini nan yon pwen genyen 3 kondisyon li dwe ranpli:

  1. fòk fonksyon an egziste nan pwen sa
  2. fòk limit fonksyon an egziste nan pwen sa
  3. fòk limit fonksyon an nan pwen sa bay menm rezilta ak valè fonksyon an nan pwen an.

Lojik ki dèyè twazyèm kondisyon an senp: si limit lan pa egal valè fonksyon an nan pwen an, sa vle di f pran yon seri valè ki toupre limit la, men li pa janm ka konfonn ak limit la. Ofinal, sa kreye yon twou, ki ap fè ou oblije leve men ou lè ou rive sou valè limit la paske valè limit sa a li pa gen anyen pou wè ak valè fonksyon an nan pwen sa.

Tout nosyon sa yo itil anpil. Nan sèl biyè sa a, nou kouvri yon pil koze. Se vre kalkil limit yo gen yon bann difikilte nou pa dekri, men lè n ap gen pou nou prezante derive yo, n ap sezi wè jan yo ede nou kalkile yon seri limit byen fasil, espesyalman gras ak règ l’Hospital la.

Rete branche. Twazyèm biyè nou an ap prezante nosyon derive a, kote nou pral fè nosyon pant lan fè konekrèm ak nosyon limit la.

Kwazman pant ak limit [1/2]

Branch yo rele Analiz matematik la chita sou 3 gwo zouti: limit, derive ak entegral. Bon, nou te ka menm di li chita sou limit sèlman, paske jan nou ap gen pou nou wè sa ni derive ni entegral se limit yo ye tou.

Kontèks

Se Isaac Newton ak Gottfried Wilhelm Leibniz ki fonde branch sila a, blòk 17yèm syèk yo. Yonn nan rezònman branch sa a rann popilè se lojik kalkil sou entèval zuilit zuilit yo (kalkil enfinitezimal). Alòs depi tan lontan, tankou depi sou Archimède yo, moun te konn sèvi ak rezònman sa, men se apati Newton epi Leibniz fondasyon branch sa a poze epi yo kòmanse sèvi avè l nan tout sòs. Gen fanm tou, avan oswa apre Newton ki pote kontribisyon yo, men malerezman listwa pa brake ase pwojektè sou kontribisyon sa yo.

Antouka, jodi a fizik, biyoloji, chimi, ekonomi , elt. sèvi anpil ak zouti Analiz yo, sitou sa yo rele derive a. Si ou konprann sa derive a ye, ou ka di ou konprann yon nan toujou nan nannan branch yo rele Analiz matematik la. Nan seri 3 biyè blòg sa yo, nou pral esplike sa derive a ye ak poukisa li enpòtan. Nan biyè sa n ap konsantre sou nosyon « pant » lan, apre sa nan lòt la n ap gade nosyon limit la, boutofen nan twazyèm biyè a n ap prezante sa ki derive a.

Pant yon dwat

Nou tout konn sa yon pant ye. Yonn nan imaj ki ka kouri monte nan tèt nou se yon mòn yon moun ap eseye monte. Gen mòn ki pi rèd pase lòt: genyen ki prèske plat, gen lòt ki pike monte. Plis mòn nan « panche », se plis pant lan dous, plis li kanpe se plis pant lan rèd. Men pant lan, nan matematik, se pa sèl enfòmasyon sa li ban nou. An nou reprann egzanp mòn nan. Imajine ou fin monte mòn nan, epi lè w rive sou tèt li w ap pare pou w al desann sou lòt bò mòn nan. Bò pou desann mòn nan gen yon pant tou, men gen yon gwo diferans ant monte a ak desann nan.

Kit se moman w ap monte a, kit se moman w ap desann nan, direksyon kote ou prale a pa chanje. Alòs kisa ki chanje? Enbyen, lè ou t ap monte a, chak pa ou fè nan direksyon kote w prale a te voye w pi wo (altitid ou te ogmante). Men lè w rive sou lòt bò mòn nan, chak pa ou fè nan menm direksyon an, se pi ba li voye w (altitid ou ap bese). Poutèt sa, nou kapab di monte a te gen yon pant pozitif, desann nan te gen yon pant negatif. Si gen yon chif ki ka mezire pant lan, gen 2 enfòmasyon li ta dwe ban nou: 1) nivo panche liy n ap suiv la panche (pant dous oswa pant rèd), epitou 2) nan ki sans liy nan panche (monte oswa desann).

Matematisyen yo gen yon jan yo reprezante epi senplifye tout sa nou sot di yo. Imajine liy dwat nou pral etidye a se yon bò mòn nan. Lè m kòmanse monte mòn nan, gen 2 bagay ki pran chanje an menm tan: wotè m parapò ak atè a (altitid mwen) epi distans orizontal ki separe mwen ak anba mòn nan (ki vle di, mwen nonsèlman pral pi wo, men mwen pral pi devan tou.

Nan yon repè katezyen, altitid la m ka reprezante l ak yon [y] epi deplasman orizontal mwen parapò ak kote m demare a m ka reprezante l ak yon [x] (gade desen pi ba a). Si pandan m ap monte mòn nan, mwen fè yon premye ti kanpe akoz fatig, ti monte m sot fè a gentan chanje pozisyon [y] mwen an, ki soti nan [Y0] pou ale nan [Y1]. Varyasyon an se (Y1-Y0). Menm jan an tou, pozisyon [x] mwen an chanje. Mwen soti nan [X0] pou m ale nan [X1]. Varyasyon an se (X1-X0). Kounye a nou ap chèche yon mezi pou nosyon « pant » lan, e nou te wè mezi sa a ta dwe ban nou 2 enfòmasyon pou pi piti: sans chanjman [y] la parapò ak sans chanjman [x] la epi gwosè pant lan. Yon mezi matematik ki rive rasanble tou de enfòmasyon sa yo se: m=(Y1-Y0)/(X1-X0), sa vle di varyasyon nan [y] divize pa varyasyon nan [x]. Se rezilta divizyon sa a matematisyen yo rele pant yon dwat.

An nou pran liy [x] la ak liy [y] la nou fè yo fòme yon triyang, tankou nan desen pi wo a. Triyang sa ap yon triyang rektang kanmèm e si nou sonje trigonometri nou, tanjant ang liy dwat mwen an fòme avèk aks ki gen [x] yo, li egal longè kote ki anfas ang lan (ki se egzakteman varyasyon [y] la, [Y1-Y0]) divize pa longè kote orizontal la, [X1-X0]. Kidonk, sa nou rele pant dwat la, se menm li menm ki tanjant ang ant liy n ap etidye a epi aks ki gen [x] yo sou li a. Yonn nan konsekans sa genyen, li montre montre pant lan p ap chanje menm si nou agrandi triyang lan, paske ang lan p ap chanje, kidonk tanjant ang lan p ap chanje nonplis. Vrèmanvre, nan menm egzanp mòn lan, si liy n ap monte a dwat, monte pi wo nan mòn nan se pa sa k ap fè pant lan ni pi dous ni pi rèd. Pant yon dwat pa chanje. Sa gen anpil konsekans enteresan. An nou fè yon bilan sou sa nou konprann.

Yon bilan

Nan biyè nou te ekri sou fonksyon yo, nou te wè fonksyon yo gen yon jan yo sanble tout enfòmasyon sou koneksyon ki genyen nan mitan plizyè varyab. Sa enteresan anpil paske nan lasyans nou toujou ap chèche konprann relasyon ki genyen ant plizyè varyab ak fenomèn. Fonksyon ki pi senp nou te idantifye se fonksyon liy nan, ki ba ou yon liy dwat lè trase l. Kounye a nou sot wè yon premye enfòmasyon kle fonksyon sa a ka revele nou sou relasyon 2 varyab yo se nosyon pant lan. Pant lan di nou jis nan ki pwen chanjman yon varyab afekte lòt varyab la e nan ki sans li fè sa. Si pant yon dwat y=f(x) egal 2, sa vle si gen yon inite ki ajoute sou [x], ebyen se 2 inite ki ap ajoute sou [y]. Alèkile nou sot aprann, pant yon liy dwat pa janm chanje, kidonk sou nenpòt ki entèval (ant 2 pwen) ou mezire l, ou ap toujou jwenn menm rezilta a.

Men, pant yon dwat pa chanje vle di tou, si pant lan ta chanje, konnen se pa ak yon dwat ou te annafè. Kidonk nosyon pant nou an manke jeneral, paske li esklav liy dwat yo e nan reyalite a pa toujou gen liy dwat: konn gen monte desann nan fonksyon nou ap etidye yo ak tout kalte mouvman yon liy dwat pa ka dekri. Nan ka sa yo, rezilta nou ap jwenn pou pant lan ap depann de entèval nou chwazi yo. Pwochen zouti nou pral gade plis an detay e ki ap pèmèt nou atake ka ki pi konplike sa yo, se nosyon limit lan. Se li ki pral pèmèt nou ramne kesyon derive a ak yon senp kesyon pant yon liy dwat.

Nan pwochen biyè a, se sa nou pral fè.

 

Monte desann nan fonksyon matematik yo

Nan atik bèlantre sou fonksyon matematik yo, nou te wè sa yon fonksyon ye. Nan ti atik tou kout sa, nou pral fè yon premye kontak ak yonn nan mak fabrik yon fonksyon y=f(x) ka genyen : grandisman l. Sa ap prepare nou pou koze pant ak derive yo nan yon pwochen atik.

Yon premye apèsi sou grandisman fonksyon yo

Yonn nan itilite fonksyon yo, yo pèmèt nou fè prediksyon. Depi ou konn [x] ou tou konn [y]. Men pafwa se pa tèlman chif egzat yo n ap chèche, nou konn bezwen konprann relasyon an nan li menm. Tankou nou ka anvi konnen, an jeneral lè nou ogmante [x], èske [y] ap ogmante tou? Se konsa yon antrepriz ka anvi konnen, èske si li anplwaye yon nouvo travayè, benefis li p ap bese. Kèk fwa tou, sans lan konn chanje oubyen menm ap plede chanje, anmezi [x] ap ogmante. Tankou yon peyizan ki ap mete angrè nan jaden l, nan kòmansman toutan li mete plis angrè se plis l ap jwenn rannman men gen yon kantite angrè depi l depase l rannman l ap kòmanse bese kareman, si l pa fè lòt chanjman. Si anmezi [x] ap monte, [y] pa janm sispann monte, yo di fonksyon f la kwasan. Si valè [y] pran yo pa sispann desann anmezi [x] ap monte, yo di f dekwasan. Mo sa yo sèvi pou dekri grandisman fonksyon an. Fonksyon ki swa kwasan osnon dekwasan yo, pote non fonksyon monotòn. Men, egzanp peyizan an te gentan fè nou wè se pa tout fonksyon ki monotòn.

 Jan nou te di sa a, anmezi [x] ap monte, gen fonksyon kote [y] ka fin monte epi rive yon kote li pran desann malgre [x] kontinye monte, visvèsa. Fonksyon sa yo pa ni kwasan ni dekwasan. Pandan [x] ap monte a, si gen yon pwen kote [y] kòmanse desann (oswa monte) apre li fin monte (oswa desann), yo rele pwen sa yon maksimòm (oswa minimòm). Maksimòm ak minimòm, tou de pote non estremòm tou. Yon fonksyon kapab genyen plizyè estremòm, yo kapab plizyè minimòm ak plizyè maksimòm. Li klè valè [y] pran nan maksimòm yon fonksyon ap toujou pi piti pase valè [y] ki nan « vwazinaj » maksimòm sa a. Lè konsa yo di se yon minimòm lokal. Men yon fason senp senp nou ka « wè » ak de nawè nou sa maksimòm nan ye. Voye yon ti boul tenis anlè ak men w. L ap monte monte monte al nan direksyon syèl la, men rive yon kote l ap chanje direksyon bridsoukou pou l kòmanse desann. Pwen kote li chanje direksyon an, se yon maksimòm.

Boy Playing Tennis Clipart

Men sa ka rive, lè nou fin jwenn yon maksimòm, pi devan nou kontre yon lòt maksimòm ki pi wo pase l toujou, maksimòm sa tou kapab gen yon lòt maksimòm ki pi wo pase l. Gen yon ti pwovèb ki ede nou konprann sa pi byen toujou: « dèyè mòn gen mòn« . Si gen yon maksimòm kote [y] pi piti pase nenpòt lòt valè [y] ta ka pran, yo rele maksimòm sa a yon maksimòm global. Nan egzanp mòn nan, tèt mòn ki pi wo a nan yon chenn, se li ki t ap jwe wòl maksimòm global la. Yon maksimòm global se yon maksimòm lokal, men yon maksimòm lokal gendwa pa global. Se menm lojik la pou minimòm yo, ki kapab lokal oubyen global swivan si se nan vwazinaj yo sèlman valè [y] la pi piti ak si li pi piti pase nenpòt lòt vale [y] ta ka pran.

la selle
Dèyè mòn gen mòn (Vilaj Jeantilhome, Mòn Lasèl)               Sous: ClimbingForChrist

Pwen estremòm yo enpòtan anpil, paske yo di nou pafwa ki pi bon objektif nou ka vize pou yon fonksyon (tankou ki pi gwo pwofi oswa pi piti depans yon antrepriz ka vize) nan yon ti entèval oswa an jeneral. Demach chèche estremòm nan (kèk fwa sa blije fèt anba yon seri kondisyon ak pinga), li pote non optimizasyon. Nou gen pou nou fè analiz pi pwofonde sou zafè optimizasyon sa a nan yon lòt atik kote nou ap pwofite vin ak yon seri lòt nosyon enpòtan (tankou nosyon konkavite ak konveksite fonksyon yo, nan topoloji). Rete branche.

Bèlantre nan fonksyon matematik yo

FONKSYON : YON NOSYON KI SOTI LWEN

Tablèt babilonyen
Yon tablèt ki pèmèt ou jwenn envès yon seri nonb, nan sans Babilonyen yo (Par M0tty — Travail personnel, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=27862093)

Lide « fonksyon » an sanse parèt nan tout sòs nan matematik la. Si se vre depi sou tan Babilonyen yo (2000 avan Jezikri), moun ap eseye tabli koneksyon ant divès kategori nonb, koneksyon sa yo pa t twò enterese matematisyen yo tankou yon sijè etid poukont yo. Se menm konsta a nou fè lè nou rive sou Grèk yo, mwens pase 10 syèk avan Jezikri, sitou kanmarad Pythagore (Pitagò) yo nan domèn mizik, ak matematisyen Alexandrie yo (Aleksandri) nan sa ki gen pou wè ak trigonometri epi astwonomi. Lide « fonksyon » an te gentan la anba anba, men yo pa t ko janm etidye l poukont li.

Soti 13yèm al 14yèm syèk apre Jezikri, travay rechèch nan domèn fizik, sitou sinematik ki se yon branch ki ap etidye mouvman, pèmèt yo dekouvri yon bann relasyon ki konekte vitès, tan, elt. Men tout lè sa yo, fòk nou di, relasyon sa yo se te swa sou fòm fraz (ki pafwa disèt longè), swa sou fòm tablo osnon sou ang jewometri kesyon an senpman. Fòmil pa te ko alamòd.

Se Viète François (Vyèt Franswa), nan 16yèm syèk la, ki vin rann fòmil matematik yo alamòd pou dekri pwoblèm yo ak solisyon yo yon fason ki jeneral. Dayè, se annapre sa, Galilée (Galile) ak Kepler t apral pwopoze yon seri bèl fòmil nan domèn fizik.

17yèm syèk, Descartes (Dekat) tabli yon relasyon klè kou dlo kokoye nan mitan koub ki nan yon espas kwadriye espesyal yo rele plan katezyen ak fòmil polinom yo. Koneksyon sa te tabli finalmanvre dènye pon ki ta pral pèmèt yo trete yon seri pwoblèm gras ak fòmil sèlman (aljèb), san yo pa blije esklav jewometri.

Apre sa matematisyen yo tonbe fè yon bann bèl dekouvèt sou fonksyon yo (gras ak fòmil yo), menm si mo « fonksyon » an poukont pa li pa t ko sèvi. Se jis an 1673 mo a premye parèt tèt li anba kout plim Leibniz, men definisyon l lan rete jewometrik toujou. Pa Bernouilli a annapre pi laj, li di fonksyon yon kantite vayab se tout kantite ou rive konstwi apati varyab sa a. Men tout lè sa a, te gen yon kategori fonksyon, tankou logarit yo, ou pa t ka konstwi avèk senp operasyon aljebrik sou polinom yo (adisyon, miltiplikasyon, divizyon, soustraksyon, rasin). Pi ta, 18yèm syèk, sa pral pouse Euler klase tout fonksyon yo nan 2 kategori : fonksyon aljebrik yo (ki sèvi ak 5 operasyon aljebrik yo pou defini tèt yo) epi fonksyon transandan yo (fonksyon trigonometrik yo, logarit yo, elt. ki pa ka konstwi senpman ak operasyon aljebrik yo, pafwa operasyon sa yo oblije plede repete san kanpe).

Sèl bagay, ann apre yo vin dekouvri klasifikasyon ki baze sou operasyon aljebrik yo Euler te pwopoze a, manke jeneral. Ki fè, apre travay matematisyen tankou Cauchy (Kotchi), Dirichlet (Dirichlè), Riemann (Rimann), nou ka finalman di fonksyon an se nenpòt ki relasyon ki makonnen 2 ansanm nonb. Men pou dokiman sa, nou p ap bezwen nivo jeneralite sa a, n ap konsantre nou sou konsepsyon tradisyonèl fonksyon yo apati nosyon operasyon aljebrik la epi lide 2 ansanm nonb ki konekte yonn ak lòt gras ak fonksyon an.

YON APWOCH SENP SENP NOSYON FONKSYON AN

Yon egzanp senp nou ka pran pou esplike nosyon fonksyon an, se relasyon ki genyen nan mitan kòb yon pasaje peye yon chofè ak monnen chofè a gen pou ba li. Si pri trajè a 15 Goud, monnen chofè a ap remèt la dwe egal ak diplis ki genyen nan kòb pasaje a lonje ba li a. Si pasaje a lonje 15 Goud bay chofè a, monnen an ap zewo bare, si l lonje 20 Goud, monnen an ap 5 Goud, si l lonje 100 Goud, monnen an ap 85 Goud. Boutofen, nou ka wè monnen chofè a ap remèt la li fonksyon kantite kòb pasaje a lonje ba li. Si nou konn konbyen pasaje a bay (an nou rele kantite sa X), enben nou tou konnen konbyen chofè a ap remèt (Y), paske :

Y = X-15

Poutèt Y se yon fonksyon X, yo pran abitid ekri relasyon an sou fòm sa :

Y=f(X)

Kote  se non fonksyon ki makonnen Y ak X la. Nou kapab li l : Y egal f de X. Yo rele kantite nou jwenn pou Y la : imaj X nan f oswa atravè f. Mo imaj la enteresan, li fè nou wè fonksyon an tankou yon kamera osnon yon glas ki ap reflete imaj yon objè, menm si imaj sa konn depaman ak objè a (nan matematik nou rele objè a « antesedan »).

Pou nou retounen nan egzanp pasaje a, si nou suiv byen, nou ap wè yon fwa nou konnen konbyen pasaje a peye (X), se yon sèl kantite ki posib pou chofè a ba li pou monnen. Si pasaje a peye 20 Goud, chofè a p ap ba li lòt monnen pase 5 goud li bay anplis 15 Goud ki se pri trajè a. Kidonk, fonksyon « remèt monnen an », nan egzanp nou an, pou chak antesedan (X) p ap bay plis pase yon imaj (Y). Mak frabrik mòd fonksyon sa yo ki pa janm bay plis pase yon imaj yo, li pote non « inivosite[1] » (yonsèlvwa). Lè konsa, yo di fonksyon an inivòk (yonsèlvwa), sa vle di pou chak antansedan ou pote pou li, li p ap remèt ou plis pase yon grenn imaj. Se tankou ou te di fonksyon an pa gen de mo, se yon sèl mo li genyen. Se pa tout fonksyon ki yonsèlvwa. Men an jeneral, depi yo di fonksyon, lide sa a tou parèt anba anba. Kanta pou fonksyon ki pa yonsèlvwa yo, lè konsa yo di yo « miltivòk » (plizyèvwa). Menm egzanp chofè ak pasaje a ka ede nou la ankò.

Lè pasaje a peye, gen yon sèl kantite kòb chofè a ka remèt li pou monnen, paske fonskyon « remèt monnen » an « yonsèlvwa ». Pa gen de imaj posib. Kidonk depi w konnen konbyen kòb pasaje a te bay, ou tou konnen konbyen chofè a pral remèt. Menm jan an tou si w pran revè sitiyasyon sa a, depi w konn konbyen kòb monnen (Y) chofè a te remèt, ou tou konnen konbyen pasaje a te peye (X=Y+15). Lanvè fonksyon f la yo rele li « resipwòk » fonksyon an (li ekri f^{-1} ). Nan egzanp nou an resipwòk la se :

X=f^{-1}(Y)=Y+15

Men yon fonksyon kapab yonsèlvwa poutan revè l pa sa. Egzanp :

Y=f(X)=X^2 \Rightarrow X=f^{-1}(Y)=\pm(\sqrt{Y})

Kidonk, pou chak X, gen yon sèl Y, men pou chak Y gen de X (yonn pozitif, yonn negatif). Tankou la, \displaystyle{{(3)}^2=9}  sèlman, epoutan genyen de fason ou ka jwenn menm 9 sa a lè w pran resipwòk la, swa ou sèvi ak 3 a osnon ak -3 a (paske  \displaystyle{{(-3)}^2=9} tou). Ki fè la, nou wè yon fonksyon kapab yonsèlvwa epoutan resipwòk li plizyèvwa. Lè konsa, depi sa posib, ou dekonpoze fonksyon plizyèvwa a an plizyè ti fonksyon yonsèlvwa.

Men yon lòt egzanp senp senp ki pote plis limyè sou fonksyon plizyèvwa yo. An nou pran yon klas ki gen plizyè elèv, epi nou defini yon fonksyon ki koresponn chak ane ak laj elèv yo genyen pandan ane sa a. Yon fonksyon kon sa gen anpil chans pou li plizyèvwa, paske nan yon klas, se pa tout elèv yo ki gen menm laj.

Dènye nosyon n ap prezante nan seksyon sa a, se koze « domèn definisyon » an. An nou retounen nan egzanp chofè ak pasaje a.

Li klè fonksyon « remèt monnen » an bezwen de kategori chif pou li fonksyone. Chak kategori sa yo fòme yon ansanm. Gen yon ansanm ki nan antre fonksyon an, nou ap rele l « ansanm demaraj la » (E). Nan egzanp nou an, se kòb pasaje a ap lonje bay chofè a (X). Gen yon lòt ansanm ki nan pa pòt soti fonksyon an, nou ap rele li, « ansanm final la » (F). Nan egzanp lan, se tout monnen posib chofè a ka remèt yon pasaje (Y). Depi kounye a n ap remake, se pa tout kòb pasaje a ka lonje bay chofè a! Pasaje a pa ka bay chofè a mwens pase pri trajè a koute, si se pa sa tranzaksyon an p ap fèt. Poutèt pri trajè a se 15 Goud, pi piti kòb pasaje a ka bay se 15 Goud. Menm si teyorikman pasaje a ta ka lonje nenpòt kòb ki pi wo pase pri trajè a bay chofè a, nou konnen an reyalite kòb li ap lonje a p ap depase 1000 Goud (paske pa gen pi gwo biyè lajan pase sa nan moman tèks sa ap ekri a). Kidonk pou nou senplifye, nou ka di, tout kòb pasaje a ka lonje bay chofè a twouve yo nan limit 15 Goud rive 1000 Goud. Se nan entèval demaraj sa a fonksyon an gen sans, pou tout nonb ki pa nan entèval sa a, fonksyon « remèt monnen » an sanlè pa bay okenn imaj. Poutèt fonksyon an se sou entèval sa li defini, yo rele entèval sa a « domèn definisyon » fonksyon an.

Nosyon domèn definisyon an evite nou tonbe nan yon kafouyay ki konn genyen nan mitan nosyon aplikasyon an ak nosyon fonksyon an. Nou ka tou konprann kote konfizyon sa a konn soti. Pou gen yon aplikasyon, fòk chak eleman nan ansanm demaraj la gen yon sèl grenn imaj, ni mwens ni plis. Epoutan, fonksyon an, nan sans laj li, jis bezwen pou chak eleman nan ansanm demaraj la gen yon sèl imaj pou pi plis, sa vle di li ka genyen mwens (zewo imaj). Kifè, ansanm demaraj la ka pi laj pase ansanm definisyon  an. Sa tou mennen nou nan sans ki pi sentre nosyon fonksyon an konn genyen an, kote chak eleman ansanm demaraj la genyen yon sèl grenn imaj, ni plis ni mwens : lè sa a, li gen menm sans ak nosyon « aplikasyon » an. Men poutèt yo pa toujou presize ansanm demaraj ak ansanm final yo, sa finalman konn lakoz tou de nosyon sa yo nan konpetisyon yonn ak lòt, yo konn sèvi ak tou de nan menm sans.

Finalman yon bon fason nou ka reprezante yon fonksyon ki gen E pou ansanm demaraj epi F pou ansanm final, se :

Tankou fonksyon « remèt monnen » nou te pran pou egzanp lan, nou ka reprezante li konsa[2] :

Kounye a, nou pare pou nou dekòtike nosyon fonksyon an ak zouti ki pi fòmèl, pi estanda.

YON APWOCH ESTANDA NOSYON FONKSYON  AN

DEFINISYON YON FONKSYON

Gen bezwen twa enfòmasyon pou defini yon fonksyon f:

1) Yon ansanm demaraj (E)

2) Yon ansanm final (Y)

3) Yon règ ki konekte eleman ansanm demaraj la (x) ak eleman ansanm final la (y)

Soti kounye a, sèl si nou ta di lekontrè, tout fonksyon nou ap sèvi yo ap yonsèlvwa. Nou ap konsantre nou sou eleman ki nan ansanm reyèl yo, R, alafwa pou ansanm demaraj la, E, epi pou ansanm final la, F. Yon fonksyon kon sa gen yon sèl varyab reyèl nan ansanm demaraj la, ki rele varyab endepandan, ak yon sèl varyab reyèl nan ansanm final la, ki rele varyab depandan. Yo konn rele fonksyon sa yo « fonksyon reyèl varyab reyèl », ki gen pou mak fabrik :

1) Yon ansanm demaraj R

2) Yon ansanm final R

3) Yon règ ki konekte chak grenn x nan R demaraj la ak yon grenn y, pou pi plis, nan R final la.

Nan ekonomi, yo konn rele x nan ansanm demaraj la varyab andedan (andojèn, sa vle di soti anndan sistèm/modèl nou ladan an), epi y nan ansanm final la yo konn rele l tou varyab andeyò (egzojèn, sa vle di ki soti deyò sistèm nan).

MONOM, POLINOM AK FONKSYON RASYONEL

Gen fonksyon ki sèvi blòk pou konstwi lòt fonksyon ki pi konplike. Fonksyon sa yo se yon seri fonksyon senp senp yo rele « monom ». Men ki fòm yo toujou genyen:

\displaystyle{y=f(x)=ax^p}

Kote se yon nonb reyèl, ki pa egal zewo, yo bay non koyefisyan; epi espozan p a se yon nonb pozitif epi ankè (ki fini ak yon chif won), ki pote non degre monom nan. Egzanp:  \displaystyle{f(x)=x^2} , ki gen degre 2.

Lè ou pran plizyè monom kon sa ou kole yo ansanm gras ak siy adisyon oubyen soustraksyon, ebyen sa ou jwenn nan rele polinom. Men fòm jeneral li:

P(x)= A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + A_1+A_0 \quad A_n \neq 0

Degre monom ki pi wo a tou sèvi pou degre polinom nan.

Gen valè x ap pran ki ap tou fè polinom nan egal zewo. Yon valè x kon sa, yo ba li pote non rasin polinom nan. Yon polinom kapab gen plizyè rasin. Men si degre polinom nan se n, pi gwo kantite rasin diferan li kapab genyen se n. Sa ka rive li genyen mwens, paske kèk nan rasin yo ka menm, men Teyorèm fondamantal aljèb la, ki pote non Teyorèm D’Alambert-Gauss tou (Dalanbè-Gos), aprann nou tout polinom gen yon rasin pou piti (rasin sa a anndan yon ansanm nonb ki pi laj toujou pase R, yo rele ansanm nonb Konplèks yo, \displaystyle{\mathcal{C}}). Rasin yo enpòtan anpil, paske nonsèlman yo pèmèt faktorize polinom yo (sa vle di dekonpoze yo sou fòm miltiplikasyon plizyè polinom degre 1), men souvan yo se solisyon yon seri pwoblèm enteresan ki poze sou fòm yon ekwasyon. Nan dosye sou aljèb n ap gen pou nou prepare a, nou ap retounen an detay sou polinom yo.

Nou te wè nou ka adisyone monom pou yo ban nou polinom. Ositou, nou ka divize yon fonksyon polinom ak yon lòt pou li ban nou yon fonksyon rasyonèl :

\displaystyle{y=\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + A_1+A_0}{B_nx^n+B_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + B_1+B_0}} \quad Q(x)\neq 0

Sèl kondisyon pou fonksyon sa a gen sans, se pou polinom ki anba a, sa vle di denominatè a, pa egal zewo, paske divizyon an p ap posib si se kon sa.

DE MANMAN FONKSYON: ALJEBRIK AK TRANSANDAN

Gen yon bann fonksyon nou ka fòme ak polinom yo. Men yon fason senp nou ka klase fonksyon yo se lè nou sèvi ak nosyon fonksyon aljebrik yo. Tout fonksyon nou sot site piwo a (monom, polinom, fonksyon rasyonèl) se fonksyon aljebrik yo ye. Pou yon fonksyon y merite non sa a, fòk li kapab solisyon yon ekwasyon tankou sa :

A_n(x)y^n+A_{n-1}(x)y^{n-1}+ \cdots + A_1(x)y+A_0(x)=0

Kote tout koyefisyan yo (Ak(x) yo), se polinom yo ye. Vrèmanvre, yon fonksyon polinom se yon ka espesyal anndan jeneralite sa a, kote :

y+A_0(x)=0

Kanta pou fonksyon rasyonèl yo, yo ka ekri kon sa:

A_1(x)y+ A_0(x)=0

Lòt fonksyon ki pa aljebrik yo, yo di yo se fonksyon transandan. Nan kategori fonksyon transandan yo nou jwenn logarit, esponansyèl, fonskyon trigonometrik tankou sinis ak kosinis. Yon teyorèm ki konn ede demontre yon fonksyon li transandan, se Teyorèm Eisenstein lan (Ayzennchtayn). Nan dosye aljèb la, ap gen plis kòzman sou zafè sa a.

Nan pwochen atik yo, n ap detaye pi plis sou kèk kategori fonksyon senp anndan polinom yo (fonksyon liy, fonksyon afin), n ap entwodui  nosyon tankou graf, pantgrandisman yon fonksyon. N ap pale tou sou fonksyon resipwòk yo ak fonksyon konpoze yo, defini kèk lòt fonksyon pa ka pa la tankou logarit, esponansyèl ak fonksyon trigonometrik yo. N ap liste epi demontre kèk rezilta enpòtan, konsa djakout nou ap chaje kou Legba ak zouti ki pral pèmèt nou plonje pi fon anndan branch matematik yo rele Analiz la.

KEK REFERANS

Histoire de la notion de fonction

Mathématiques pour économistes

 

[1] Mo ki gen “uni” ak “multi” sa yo, nou ap kontinye chèche yon fason pou nou tradui yo lè yo pa ko gen tradiksyon (tankou inivèsite, inifòm ki yo menm deja an kreyòl). Kanta pou « -voque » la, nan « univoque », nou jwenn li nan lòt mo tankou « équivoque ». Sa n ap fè ak li? Nan alman ak angle, li tounen « vocal ». Li soti nan laten « vocus » ki gen pou wè ak « vwa moun, kriye, di, rele ». Nan plas fonksyon inivòk ak miltivòk, ki pa vle di anyen pou yon kreyolofòn, nou ap pèmèt nou di pito : fonksyon yonsèlvwa, plizyèvwa. Epi nou ta ka sèvi ak menm adjektif sa yo tankou non nan plas mo « inivosite » ak « miltivosite » yo :  kreyòl la pèmèt yon lizay konsa.

[2] Pou ansanm final la nou te ka ekri R tou senpman, si nou sipoze chofè a ka remèt pasaje a plis kòb pase sa li ta dwe remèt.