Yon ti refleksyon pèsonèl sou dediksyon nan matematik

Sherlock Holmes, dediksyon an pèsòn

Pifò branch nan matematik fòme yon sistèm dediksyon (« système déductif »). Sa vle di demach yo itilize pou yo pwodui konesans lan chita sou dediksyon. Dediksyon an se yon rezònman ki soti nan jeneral pou li ale nan detay, atravè yon chèn pwopozisyon kote konklizyon final la se konsekans ipotèz ou te demare ak yo a. Larue ak Risi (1959) esplike pi gwo pati nou souvan jwenn nan yon sistèm dediksyon se eleman san definisyon yo, postila yo, definisyon yo, operasyon yo, relasyon yo ak prensip lojik sistèm nan adopte yo.

Eleman san definisyon yo se yon seri eleman li enposib pou defini yo anndan sistèm nan san ou pa itilize zouti sistèm nan pa founi. Postila yo se yon seri verite an lagan nou dakò sou yo: nou sèvi ak yo pou demontre lòt verite, men yo menm yo pa bezwen demonstrasyon. Definisyon yo sitou itil nan premye etap pou tabli sistèm nan, men se pa tout bagay ki ap bezwen defini nonplis si se pa t sa nou pa t ap janm fini. An jeneral, yon fwa nou fin dakò sou sa ki nan postila yo, nou ka sèvi ak konsekans postila sa yo pou nou defini konsèp ak mo kle ki ap vin annapre yo. Yon lòt fason yo fè definisyon yo se apati yon relasyon ekivalans oswa doub enplikasyon (A se konsekans B men B tou se konsekans, kidonk yonn pa mache san lòt). Kanta operasyon yo (tankou adisyon, miltiplikasyon, elt.), yo di nou kòman nou kapab konbine eleman yo ansanm. Relasyon yo menm pèmèt nou kalifye oswa pozisyone yon eleman parapò ak yon lòt. Pou fini gen yon seri prensip lojik yo itilize pou fè demonstrasyon yo: prensip idantite a (yon bagay se tèt li ankò), prensip kontradiksyon an (yon koze pa ka alafwa vre epi fo), prensip mòso verite pa ladan an (swa koze a vre swa li fo, li pa ka antre de), epi yon prensip tranzitivite (si A di B, epi B di D, ebyen A di D).

Rezònman dediktif tipik la se sa yo rele silojism lan. Li ka pran divès fòm, men gwosomodo se yon rezònman ki pèmèt ou soti nan yon ipotèz (I) ki kapab vre oswa fo, pou ou rive nan yon konklizyon (K) ki kapab vre oswa fo. Men se pa tout silojism ki bon, gen rezònman ki kapab pa kòrèk. Yon silojism ki fo ka pran yon verite pou ipotèz epi li travay li pou finalman li bay yon konklizyon ki fo. Yon silojism ki fo fè ou soti nan yon verite ale nan yon manti, e nan yon demach syantifik se pa mòd konklizyon sa yo nou ap chèche. Kounye a, yon silojism ki bon garanti w depi ou soti nan yon verite ou ap abouti nan yon lòt verite. Men si ou demare ak yon manti (yon ipotèz ki fo), yon silojism kòrèk ka mennen ou swa nan yon lòt manti swa nan yon verite.

Depi silojism la bon yon ipotèz ki vre pa fouti mennen nan yon manti. Y0o konn baze sou sa pou demontre yon konklizyon apati konklizyon an ankò: se sa yo rele rezònman atravè absidite a (rezònman ki sèvi ak koze degrenngòch pou li tabli yon verite). Nan rezònman sa a (« reductio ad absurdum » an laten), yo gade konklizyon yo vle demontre a, yo pran kontrè konklizyon sa a (yo sipoze konklizyon an fo). Kidonk, yo sipoze kontrè a se li ki verite. Dapre senaryo silojism nou te wè pi wo a, si kontrè a se verite toutbon, ebyen depi silojim nou an kòrèk li oblije mennen nou nan yon lòt verite. Ebyen se sa ki tout nannan rezònman sa a. Yo pran kontrè konklizyon yo vle demontre a, yo sipoze kontrè sa a verite, epi yo fè yon lojik ki kòrèk (an prensip). Si lojik sa mennen nan yon manti (yon koze nou te gentan ki konnen ki fo), ebyen pa gen lòt posiblite: se paske kontrè a nou te sipoze ki vre a li pa t vre toutbon. Li te fo, paske si li te vre li pa t ap ka mennen nou nan yon manti alòske lojik nou fè a kòrèk. E si li te fo, sa vle di konklizyon li se kontrè li a oblije vre paske se yonn ou lòt (sou baz prensip kontradiksyon ak demiverite pa ladan an). E si nou oblije di konklizyon an se verite, sa vle di nou demontre sa nou te vle demontre a.

Mwen genyen de gwo pwoblèm ak rezònman atravè absidite a, yon rezònman poutan yo itilize souvan nan matematik (menm si se pa tout matematisyen ki renmen li). Premye pwoblèm nan se paske ou pa gen garanti li ap mennen ou kote ou vle a, sa vle di nou ta ka imajine ka kote li pa pèmèt nou konkli anyen ditou. Vrèmanvre, si konklizyon nou vle demontre a ta fo, sa t ap vle di kontrè li a verite, e si kontrè li a verite, lojik nou pral fè sou li a ap mennen nou nan verite sèlman, depi lojik la kòrèk. Kidonk mwen riske tonbe sou yon seri verite yonn apre lòt san mwen pa janm konn kilè pou m kanpe ak kilè pou m deside si konklizyon mwen vle demontre a vre ou pa. Kidonk metòd la ka mennen mwen nan yon sitiyasyon kote mwen pa ka deside anyen. Epi nou p ap bliye tou yon ipotèz ki fo ka mennen nou nan yon verite si nou sèvi ak yon bon silojism, kidonk nou pa gen garanti kontrè konklizyon an ap mennen nou nan yon pwopozisyon ki fo. Se kòmsi fòk ou gentan konnen rezònman atravè absidite a ap mache pou ou aplike li. Men se pa sa ki pi gwo pwoblèm mwen an.

Pi gwo pwoblèm mwen ak metòd sa a, se paske li sipoze san reflechi lojik mwen aplike a sou kontrè rezònman an se yon lojik ki kenbe. Si se vre nou ap reflechi anndan yon sistèm dediksyon, sa vle di tout koze yo konekte yonn ak lòt anndan sistèm nan. Si yonn ta sispann vre, tout lòt sa nou te konnen ki verite yo riske vin fo. E si yo vin fo, nou pa ka ap sèvi ak yo pou nou travay sou kontrè koze nou vle demontre a, si nou vle rete koyeran. Te mwen eseye chematize sa mwen vle di a ak yon egzanp.

Imajine nou te genyen 3 postila:P1, P2 ak P3.. Apati yo menm nou defini yon ansanm konsèp kle,, an nou di nou gen 7 definisyon konsa: D1, D2…D7. Kounye a, imajine sou baz sa a nou te gentan demontre 20 konklizyon diferan oswa teyorèm: K1,K2…K20. An nou imajine, nan demonstrasyon K20 an nou te sèvi ak pwopriyete ki nan K12 la konbine ak definisyon D4 la. Sa vle di K12 konbine ak D4 mennen nou nan K20. Kounye a an nou di nou vle demontre K21 ak yon rezònman atravè absidite, sa vle di K21 se yon nouvo pawoli nou vle antre nan sistèm dediksyon nou an. Men an nou imajine, san nou pa ko konn sa, K21 li menm te yon konsekans konbinezon K20 ak definisyon D7 la. Premye sa nou fè nan kad demonstrasyon atravè absidite a se sipoze K21 fo, sa vle di kontrè-K21 se verite. Men kòm K21 se te yon konsekans K20 (ak D7), si K21 fo, ebyen K20 te oblije fo tou, paske si li te vre K21 t ap vre tou. Kidonk, lè nou sipoze kontrè-K21 vre a, nou tou sipoze K20 fo. E kòm K20 te yon konsekans K12 (ak D4), ebyen nou oblije konkli K12 te fo tou. Kounye a, nou menm ki pa konn sa, imajine nou al aplike K12 apre nou fin sipoze kontrè-K21 an vre (sa vle di apre nou fin sipoze K12 fo , san nou pa konnen). Kidonk nou kontredi tèt nou paske nou sipoze K12 alafwa vre jiskaprezan (se sa ki fè nou aplike li) alafwa fo (endirèkteman, lè nou te sipoze kontrè-K21 se verite a). An rezime, nan yon demonstrasyon atravè absidite, nou pa reflechi sou konsekans ipotèz nou fè kòmkwa konklizyon nou vle demontre a fo ka genyen sou sistèm dediksyon nou an. Nou pa chèche garanti pwopriyete nou ap aplike apre yo toujou kenbe lè nou adopte ipotèz sa nou vle demontre a fo.

Sitiyasyon mwen sot devlope pi wo a gen dwa pa janm prezante. Sa ka rive pwopriyete nou abitye aplike yo pa gen okenn relasyon ak ipotèz nou te fè nan kòmansman rezònman an. Men si jamè sitiyasyon an ta prezante, fason yo aplike metòd sa a aktyèlman an ka pa pèmèt nou detekte sa. Lè sa ta rive, nou ap nan yon sitiyasyon kote nou ap aplike yon rezònman (yon silojism) ki fo sou yon pwopozisyon ki fo. Sitiyayson sa a nou pa ka predi nan kisa li ap mennen nou, li ka mennen nou nan verite konsa tou li ka mennen nou nan yon pwopozisyon ki fo. Nou ka mande tèt nou tou jis nan ki pwen silojism kòrèk lojik klasik la di nou ki ka fè ou soti nan yon ipotèz fo pou ou rive nan yon konklizyon vre a li kòrèk vre. Egzanp, si mwen sipoze 1+1=3, otomatikman mwen tou rekonèt 1+1 sispann egal 2 e 3 sispann egal 1+1+1 oswa 2+1. Anfèt, gen yon ban pwopriyete nou te konnen ki pa verifye ankò, kidonk sa pa t ap fè okenn sans pou nou al aplike yo pi devan kòmsi yo te toujou verite.

Li klè apre analiz sa a, nou bezwen omwen kat bagay pou amelyore rezònman atravè absidite a.

  1. Nou bezwen yon teyori ki pèmèt nou konprann depandans tout pati anndan yon sistèm dediksyon yonn parapò ak lòt (kisa ki t ap chanje si yonn nan pati sa yo ta sispann kenbe). Kidonk, nou bezwen yon vizyon dinamik sistèm dediksyon yo. Sa t ap itil anpil sitou lè nou gen pou nou aplike yo nan reyalite a (egzanp jewometri), si yon pwopriyete oswa yon postila ta sispann kenbe sa konn chanje anpil bagay (egzanp: jewometri Riemann nan oswa pa Lobatchevski a).
  2. Nou bezwen yon pwosede ki pèmèt nou verifye, anba yon ipotèz kèlkonk, si tout pwopriyete anndan yon sistèm dediksyon toujou kenbe, idantifye sa ki pa kenbe ankò yo, si genyen, pou nou pa aplike pwopriyete sa yo ankò anba ipotèz nou adopte a.
  3. Nou bezwen yon refleksyon apwofondi pou konprann konsekans aplikasyon yon silojism ki fo sou yon ipotèz ki fo .
  4. Nou bezwen yon teyori ki pèmèt nou konnen nan ki sitiyasyon yon rezònman atravè absidite gen plis chans abouti (konvèje).

4 twou vid sa yo ouvri pòt pou anpil rechèch enteresan. Mwen pa ko janm kwaze rechèch ki fèt sou sa, men sa pa vle di sa pa egziste: matematik laj anpil e mwen pa yon espesyalis. Men mwen rete kwè gen anpil chans pou gen kichòy pou nou ta dekouvri. Nou ka menm al gade tou si teyori ansanm flou yo (« fuzzy sets »), apwòch konstriktivis la nan matematik, lojik entuisyonis la ak teyori demonstrasyon an an jeneral pa ban nou deja kèk chimen enteresan ki te ka mennen nou repons kesyon sa yo. Mwen espere tounen sou sa yon lòt lè. Mwen espere tou yon jou konsakre yon biyè pou kesyon endiksyon an nan matematik ki se lanvè endiksyon an.

Répondre

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l'aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s