Limit : yon istwa lajan sere (2/2)

Limit yo se nannan Analiz matematik la, paske yo parèt nan definisyon ni derive yo ni entegral yo. Nan atik sa a nou pral wè sa yo ye, kòman yo fonksyone epi ki mak fabrik yo. Anvan sa, n ap fè yon diskite sou istwa konsèp sa a pou nou ka byen chita kontèks la.

Kontèks

Genyen nan algoritm ansyen grèk yo, espesyalman pa Héron d’Alexandrie a pou jwenn rasin kare yon nonb (metòd babilonyen an), pa Archimède la pou jwenn valè pi, ki chita sou lide sa: tank ou ap vanse nan kalkil la, se tank ou ap pwoche yon rezilta fiks.

Genyen Pierre Fermat tou ki t apral menm fè operasyon aritmetik sou yon nonb ki pre pre pre zewo san li pa janm  egal zewo (yon kantite enfinitezimal). Newton ak Leibniz te fè ti eseye tou, men se matematisyen Augustin Cauchy ki pral premye sèvi ak yon definisyon strik nosyon limit la san li pa fòmile l tankou yon definisyon. An reyalite se Bolzano avèk Weistrass ki t apral pwopoze premye definisyon fòmèl e jeneral pou nosyon limit la. Sepandan, apwòch nonb enfini ak nonb enfinitezimal la toujou enteresan e nan 20yèm syèk la (apati ane 60 yo) gen yon branch nan matematik la ki devlope, analiz non-estanda, ki tabli baz fòmèl (nonb sireyèl ak ipèreyèl yo) pou etidye nonb sa yo.

Yon premye definisyon ki chita sou bon sans

An nou pran yon bèl ti egzanp nou jwenn nan woman LE THÉORÈME DU PERROQUET a (se Denis Guedj ki ekri l).

Imajine ou pa t menm sou sere kòb ou labank. Men kounye a nan kad yon piblisite, ou aprann Bank Tibwatsekrè, pou li ka ankouraje moun ouvè yon kont lakay li, deside bay yon enterè konpoze 100% depi yon moun depoze 1 Goud pou louvri yon kont. Lojik enterè konpoze a se: chak tan yon peryòd rive, y ap aplike enterè a ni sou manman lajan okòmansman an ni sou enterè ou te rive sanble pandan peryòd anvan yo. Tankou la, an nou di manman lajan an se M (an nou di M=100 Goud) epi an nou sipoze se chak ennan yo ajoute enterè yo pou ou (E=t%*M, kote t se to enterè a: an nou di to a se 1%, kifè E ap egal 1 Goud apre ennan). Apre ennan, ou rive sanble M+E=100+1=101 Goud. Lojik enterè konpoze a mande pou nan fen dezyèm ane se 101 Goud la y ap pran pou nouvo manman lajan an, li p ap 100 Goud ankò, kifè enterè pral ajoute ni sou premye manman lajan an ni sou enterè ou te rive sanble anvan an. Bèl afè, sa ou di!

Li sanble klè, nan yon lojik konsa, plis peryòd la kout (an nou di olye li chak ennan, li te chak 6 mwa pito), manman lajan an ap gwosi pi vit paske yo ap ajoute enterè yo pi souvan. Kounye a, sèl kesyon ou ap poze tèt ou parapò ak « piyay » Bank Tibwatsekrè di l ap bay la, se chak ki peryòd yo ap aplike enterè sa yo! Pandan reklam nan ap fini konsa, ou tande yo di yo pare pou yo negosye nenpòt ki peryòd ki pi kout pase ennan avèk kliyan yo! Ou sezi, ou tou wè yon okazyon pou ou vin rich. An bon entèlijan, ou di ou pral negosye peryòd ki pi piti yon moun te ka imajine a: minit, segonn, 1/10yèm segonn,  ou pa konnen. Toutan ou ka desann pi ba nan negosyasyon an w ap desann pi ba paske konsa ou ap milyonè pi rapid.

Se la ti sè w la Jowàn, ki fò anpil nan matematik, di w poze san w pou w bwè yon mabi 50. Li di w menm si ou ta rive negosye peryòd ki pi zuit posib la, ou p ap janm milyonè. An reyalite, menm apre yon pil tan pase, ou ap sèlman anviwon 2,718 fwa pi rich! Kòm se yon Goud ou t apral plase labank lan, menm lè ou ta deside kite l travay jiskaske ou ti granmoun, ou p ap menm rive sanble 3 goud: kòb ou a p ap janm depase 2,719 Goud. Ou di sa k ap pase konsa, ou pa vle kwè, ou mande l kote li bare ak sa li di a. Epoutan, ti sè w la gen rezon.

Se vre kòb ou a ap ogmante anmezi peryòd la ap pi kout, men ogmantasyon sa a ap diminye ofiramezi tou. An nou pran egzanp sa ki pase tank ou ap redui peryòd la pi ba pase ennan. Apre ennan, kòm to enterè a se t=100%, 1 Goud ou a t ap rapòte w 1 Goud enterè. Lè sa a, nouvo manman lajan an t ap 2 goud. Men si peryòd la se 6 mwa, sa vle di mwatye ennan, se tankou to enterè 100% an te divize an 2. Kidonk, apre premye 6 mwa a, ou t ap fè: M+E1=1 Goud+ 50%1 Goud=1,5 Goud. Kòm 1,5 Goud sa se li kounye a ki nouvo manman lajan an, apre dezyèm 6 mwa a ou t ap sanble: M1+E2=1,5 Goud+ 50%1,5 Goud=2,25 Goud! Li klè, apre ennan, si peryòd la se 6 mwa, ou rive fè plis kòb (2,25 Goud), pase kantite kòb ou t ap fè si peryòd la te ennan (2 Goud).

Men gade sa ki  t ap pase si, olye peryòd la se chak 6 mwa, li te chak 3 mwa pito. Kòm genyen  4 trimès nan yon ane, enterè 100% an t ap divize pa 4 e enterè a t ap aplike 4 fwa. Finalman, manman lajan an t ap vin egal 2,44 Goud apre ennan, ki toujou pi wo pase sa nou te jwenn lè peryòd la te ennan an. Li pi gwo tou pase sa nou te jwenn lè peryòd la te 6 mwa a. Men sa nou remake, pandan peryòd 6 mwa a te fè nou soti nan 2 goud al nan 2,25 peryòd 3 mwa a pa pwovoke yon pi gwo ogmantasyon pase sa. Si nou te fè l chak mwa, nou t ap jwenn manman lajan an vin egal 2,61 apre ennan; si nou te fè l chak jou, manman lajan an t ap vin 2,71 elt. Kidonk, plede redui peryòd la, se vre li fè manman lajan an vin plis achak fwa, men tank ou ap redui peryòd la se tank diplis la ap vin pi piti.

Matematisyen yo rive montre si ou ta kontinye redui peryòd la nètale, alafen gen yon nonb fiks ou t ap rive sou li ou t ap bloke, kòb la pa t ap ogmante ankò. Nan egzanp nou an, nonb sa a yo rele li nonb Euler a, li se: [e]= 2,71828182845904… (kantite chif ki apre vigil la enfini). Kidonk, ti sè w la te gen rezon: pi bon negosyasyon ou ka fè ak Bank lan t ap sèlman fè w vin « e » fwa pi rich!

Fòmil jeneral pou kalkile valè manman lajan an Mk apre k peryòd anndan yon ane se

Alèkile, nou sot wè si M=1 Goud epi t=100%, menm si  k (kantite peryòd la) ta vin enfini, Mk (manman lajan final la) p ap janm depase [e] (nonb Euler a). Yon fason senp matematisyen yo konn ekri sa se :

lim nan vle di Mk, manman lajan an, ap vin sitèlman pre chif yo rele [e] a, ou ta ka di yo egal menm si yo pa ta egal vre, lè kantite peryòd la (k) vin anpil anpil anpil.

An jeneral, pou nenpòt ki fonksyon, nou ka aplike lide limit sa a. Se konsa

vle di nenpòt jan ou ta vle f vin toupre L, sa ap posib, anmezi x ap pwoche a. Yo li l konsa : « limit f de x lè x ap pwoche a egal L. »

Gen 2 fason [x] la ka pwoche [a], swa li ap soti nan valè ki pi piti pase [a] yo pou l al jwenn li (lè konsa yo di li ap pwoche [a] agoch) swa li ap soti nan valè ki pi gwo pase [a] yo (lè konsa yo di li ap pwoche [a] adwat). Lè li ap pwoche [a] agoch, rezilta nou jwenn pou limit lan yo rele li limit agoch, menm jan an tou pou bò dwat la rezilta a ap rele limit adwat. Si nou annik di limit yon fonksyon egal L san nou pa presize, sa vle di rezilta a pa chanje kit se sou bò dwat kit se sou bò goch.

Men definisyon sa a, ki chita sou bon sans, li yon ti jan vag lè ou byen gade. Gen kèk espresyon li itilize ki yon ti jan flou, tankou kesyon « ap pwoche » a. Kisa sa vle di menm? Eske sa ki ap pwoche yo oblije vin egal pou sa?  Lè nou di limit f egal [L] la, sa nou vle di egzakteman? Se poutèt sa, Cauchy, Bolzano ak Weistrass te vin sèvi ak yon definisyon ki pi presi ki pèmèt nou evite konfizyon sa yo.

Yon definisyon ki pi presi

Gen yon fason ki pi presi nou kapab defini limit yon fonksyon. Anvan nou prezante l, n ap sonje kisa valè absoli ye. Si 0 se referans nou sou yon aks, valè absoli yon nonb reprezante distans ki separe li parapò ak orijin nan ki se 0, kit nonb lan pozitif kit li negatif. Kidonk, si nou di

sa vle di distans ki separe [x] ak orijin nan pi piti pase 3, egzanp, [x] kapab -2,5 oswa 2,9 sa p ap pwoblèm. Men [x] pa kapab -3,2 oswa 3,9 oubyen nenpòt lòt chif ki pi piti pase -3 oubyen ki pi gwo pase 3. Yon lòt bò, si (x-3) se eka ki genyen ant [x] ak 3 (eka sa a kapab pozitif li kapab negatif), lè sa a

se distans ki separe [x] parapò ak 3 e li toujou pozitif. Lè nou di |x-3|<d, sa vle di x ka nenpòt kote agoch oswa adwat 3 depi distans ki separe yo a pi piti pase [d] (pi ba a nou rele distans sa a « delta » pito). Se tankou nou te kreye yon ankadreman pou [x], e an jeneral

Nan menm lojik la :

Sa vle di, distans ki separe f ak [L] toujou pi piti pase epsilòn (oswa [e], pou pi senp) epi pou respekte distans sa a li sifi pou pran f nan entèval ki soti nan (L-[e]) a pou ale nan (L+[e]) a. Li klè, toutotan  [e] piti, se plis f ap pre L. Kidonk nou jwenn yon fason pou nou note lide « f ap pwoche [L] » la ansanm ak lide « [x] ap pwoche [a] a ». Sonje lè nou te di [x] ap pwoche [a] a nou pa t santi li te oblije egal [a] pou tandans limit la parèt tèt li, kidonk |x-a| mèt pi gwo pase zewo. Nan menm lojik la, nou pa bezwen pou f egal [L] pou nou santi tandans limit la. Kounye a nou gen zouti pou nou defini limit la.

Sonje kisa nou ap chèche eksprime : si nou di limit yon fonksyon f bay [L] lè [x] ap pwoche [a], se tankou nou bay garanti kèlkelanswa ti distans yon moun ta ka imajine ki separe f avèk [L], nou ap ka toujou jwenn yon seri valè [x] ki pa lwen [a] ki pèmèt f pran valè nou di ki toupre [L] yo. Si nou pa ka jwenn seri valè sa yo pou [x] (sa vle di yon entèval pou [x] ozalantou [a]), ebyen nou pa ka di limit f egal [L]. Tout sa nou sot di la yo nou ka ekri li pi senp ak operasyon valè absoli a :

Sa ka parèt yon ti jan abstrè, men se egzakteman sa nou te esplike anvan an nou ekri la…Verifye pou w wè.

An jeneral, se ak definisyon sa a yo sèvi pou demontre teyorèm nou prezante pi ba yo, ki ban nou yon seri operasyon nou kapab fè sou limit yo (adisyon, miltiplikasyon, divizyon,…). Yo itil anpil pou kalkile limit yo.

Yon lòt avantaj definisyon sa genyen, li tou fè nou wè limit yon fonksyon pa oblije egziste. Kòmdefèt, si nou pa ka jwenn yon valè pou delta ki garanti f ap toupre L, limit lan pa egziste. San nou pa antre nan detay, genyen 2 gwo fason yon limit kapab pa egziste: 1)omwen yonn nan limit adwat oswa agoch yo pa egziste 2)limit agoch ak limit adwat egziste men yo pa egal. « Pa egziste » ka vle di anpil bagay men yonn nan ka ki konn enteresan se lè vale nou jwenn pou L la an reyalite li enfini (ki vle di, nou pa jwenn okenn valè fiks vre).

Teyorèm sou kalkil limit yo

Teyorèm limit yo senp. Nou pral eksprime yo an pawòl pito olye nou sèvi ak fòmil.

  1. Adisyon: Limit adisyon 2 fonksyon se menm ak adisyon limit chak fonksyon sa yo.
  2. Konstant: Limit yon konstant egal konstant lan ankò.
  3. Miltiplikasyon: Limit miltiplikasyon 2 fonksyon egal miltiplikasyon limit chak fonksyon yo.
  4. Divizyon: Limit yon divizyon de fonksyon egal divizyon limit chak fonksyon sa yo, depi rapò final la gen sans (depi denominatè a pa egal zewo).
  5. Radikal: Limit rasin n-yèm yon fonksyon egal rasin n-yèm limit fonksyon an, depi sa gen sans.

Lenfini

Gen 3 ka nou kapab distenge.

  1. Swa fonksyon an ap pwoche yon nonb fiks (L) pandan x ap pwoche enfini: lè konsa yo konn di [y]=[L] sa a se yon asentòt orizontal.
  2. Swa fonksyon an pike al jwenn lenfini pandan x ap pwoche yon nonb fiks (a): lè konsa yo konn di [x]=[a] se yon asentòt vètikal
  3. Swa ni f ni x ap pwoche lenfini.

Limit ak kontinite

Gen anpil bagay nou ta ka di sou kontinite a, men n ap konsantre nou sou kèk pwen enpòtan sèlman, Kontinite a gen pou wè ak lide kòmkwa ou ta kapab trase yon koub alamen san ou pa oblije leve plim nan oswa kreyon an sou kaye a. Sa vle di koub fonksyon an pa gen twou ladan. Gen yon lyen sere sere ant limit ak kontinite. Pou yon fonksyon kontini nan yon pwen genyen 3 kondisyon li dwe ranpli:

  1. fòk fonksyon an egziste nan pwen sa
  2. fòk limit fonksyon an egziste nan pwen sa
  3. fòk limit fonksyon an nan pwen sa bay menm rezilta ak valè fonksyon an nan pwen an.

Lojik ki dèyè twazyèm kondisyon an senp: si limit lan pa egal valè fonksyon an nan pwen an, sa vle di f pran yon seri valè ki toupre limit la, men li pa janm ka konfonn ak limit la. Ofinal, sa kreye yon twou, ki ap fè ou oblije leve men ou lè ou rive sou valè limit la paske valè limit sa a li pa gen anyen pou wè ak valè fonksyon an nan pwen sa.

Tout nosyon sa yo itil anpil. Nan sèl biyè sa a, nou kouvri yon pil koze. Se vre kalkil limit yo gen yon bann difikilte nou pa dekri, men lè n ap gen pou nou prezante derive yo, n ap sezi wè jan yo ede nou kalkile yon seri limit byen fasil, espesyalman gras ak règ l’Hospital la.

Rete branche. Twazyèm biyè nou an ap prezante nosyon derive a, kote nou pral fè nosyon pant lan fè konekrèm ak nosyon limit la.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s